如何证明三角形三条高线交于一点159
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发布时间：2023-10-23 19:40
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时间：2024-11-30 00:25
在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然ΔABE∽ΔACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
∴AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，
∴三角形ABC得三条高交于一点O。
拓展资料：
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
1、不等边三角形；不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。
2、等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3、等边三角形。等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
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时间：2024-11-30 00:26
证明三角形三条高线交于一点的方法：
已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。
求证：P、Q、O三点重合
证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AEB = ∠AFC = 90°
又∵∠BAE = ∠CAF
∴△ABE ∽ △ACF
即AB·AF = AC·AE
又∵AD⊥BC
∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB
即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP
∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP
∴AD·AQ = AD·AP
∴AQ = AP
∵点Q、P都在线段AD上
∴点Q、P重合
∴AD与BE、AD与CF交于同一点
∵两条不平行的直线只有一个交点
∴BE与CF也交于此点
∴点Q、P、O重合。
拓展资料
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等。
参考资料：百度百科-三角形
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时间：2024-11-30 00:26
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90
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时间：2024-11-30 00:27
