如何理解极限思想?
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发布时间：2022-05-01 04:23
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热心网友
时间：2022-06-24 09:46
极限描述的是一个趋势, 这个趋势(比如说切线)是客观存在的, 所以就需要引进一个概念去刻划它, 于是就得把"无限接近但未必能达到"严格地讲清楚. 对一般极限定义的理解, 你可以先去看
http://zhidao.baidu.com/question/321126163.html
连续型极限的定义也可以类似地理解.
你有必要仔细体会极限的定义. 尽管极限来自于一个运动过程, 但严格的定义是把它静态化, 通过分析运动过程中的每个时刻来完成的. 把定义反复想几遍, 从已有的静态的定义出发用运动过程去理解定义, 而不要反过去想着自己根据运动过程去下定义(你目前还没有这个功力), 搞懂了就不会像你现在这样迷茫了, 别人给你的解释最多只有辅助作用, 最终还得靠你自己想通.
接下来看你提出的具体问题, 应该说这些解释也只是辅助, 远没有反复读定义重要.
"首先我觉得Δx并不是0"
这是对的.
在连续型极限的定义中要注意条件0<|x-x_0|<delta, 不能简单地写成|x-x_0|<delta.
x->x_0的极限中并不允许x=x_0, 同样地, Δx->0时也不允许Δx=0.
这样的定义更注重于运动的趋势, 而不会被一个特殊点所干扰.
比如说 f(2)=1, 但在其余点f(x)=0
lim_{x->2} f(x)=0, 不论x=2处是f(x)否有意义, 或者f(2)是多少, x->2这一趋势是由2周围的其他点而不是x=2本身来决定的, 这是一个"众望所归"的结果.
"C+Δx随着Δx趋近于0的运动而逐渐趋向于C, 这样考虑的话C就成了一个虚幻的东西"
C+Δx是在运动过程中的某一点, 而C是运动的最终趋势, 这个趋势固然是由运动的过程来决定的, 但这是一个表示运动结果的静态的量, 没有理由要求这个趋势一定要在运动的过程中就能达到. 如果给运动过程计一个时间的话, 过程当中的每一刻时间都是有限的, 而其极限对应于无穷远的时刻, 如果有限的过程中就总能达到又何必要用无限的时间去追求.
那么既然在有限时间内达不到C, 而C却是具有真实意义的东西, 那么给它下一个合理的定义那就可以变成有意义的结果了. 极限就是对整个运动过程所做的一个运算. 运动过程中的任何一个时刻都不能代表整个过程, 所以下定义的时候最好就要 "跳出这个过程!" (到大学以后你会学到Cauchy收敛原理, 这套方法可以不跳出运动过程而达到相同的效果. 但最终如果你学到更抽象的空间就会知道这还是会有细微的差异, 离开欧氏空间就完全不一样了), 而直接引进一个结果(即C), 然后反回去把结果和过程(即C+Δx, 并且Δx->0)做一个比较, 只要其差异是可以"要多小就有多小"就已经能反映出这个趋势了, 那么那个人为指定的结果就应该是合理的趋势. 如果把C换成其他的常数则不能由C+Δx来*近, 所以刚才"人为"指定的结果有其必然性, 实质上并不是主观的.
这里的要点是不要始终把思维局限在运动的过程中, 过程到结果毕竟还需要一步额外的操作, 不跳出这个局限就不易理解. 另外, 再打一个比方, 要理解三维空间最好的方法是直接站在三维空间里去看二维空间, 而不是站在二维空间里去想象三维空间, 你现在的想法相当于始终停留在平面上.追问感谢您写下如此长篇的回答为我解惑。我感觉后半段对具体问题的解答对我比较有帮助，定义我也看了多次，但始终没有彻悟的感觉。另外请问我该怎么判断自己是否理解了极限思想？
追答先去把数列极限的定义想明白，你说看过多次了，那么就再看更多次，一直到你觉得定义就应该这么下的时候才算理解
热心网友
时间：2022-06-24 09:46
热心网友
时间：2022-06-24 09:47
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时间：2022-06-24 09:47
