初中关于函数的所有知识点复习!!!

发布网友发布时间：2022-04-30 07:34

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热心网友时间：2022-06-19 03:42

1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
3、不同位置的点的坐标的特征
①各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
②坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
⑥点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
⑦对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）.
⑧坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）

4、函数平移规律：左加右减、上加下减

函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数
1、一次函数的概念：一般地，如果（k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点（0，b）的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距)；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
3、斜率：
①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:

③由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
④设两条直线分别为，：：若
若，则有且。
⑤点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为

5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、（1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。
（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；
（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；
（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线
（5）几条直线互相平行时，k值相等而b不相等。
反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k是常数，k≠0)
反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由 =k (k≠0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。
2、反比例函数y= (k≠0)的图象的画法　　画图方法：描点法。
　　由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。
　　特点：y= =kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴、y轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。
3、反比例函数的性质和图像
反比例函数

k的符号k>0
性质①x的取值范围是x 0，
y的取值范围是y 0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y
随x 的增大而减小。k<0

①x的取值范围是x 0，
y的取值范围是y 0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
随x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何的意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN=
二次函数
1、二次函数的概念：一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像
4.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：
5.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小①当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。相等，抛物线的开口大小、形状相同. 越大，图像开口越小，越小，图像开口越大。
② 平行于轴（或重合）的直线记作 .特别地，轴记作直线 .
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：① 时，对称轴为轴； ② （即、同号）时，对称轴在轴左侧；
③ （即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：① ，抛物线经过原点; ② ,与轴交于正半轴；③ ,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
6、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）交点式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下：