求e^（-1/x^2)的n阶导数 另定义：x=0时y=09
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发布时间：2023-10-22 10:51
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时间：2024-11-15 18:44
（首先，恒有(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=0
证明：k≤0时，显然成立
k>0时，(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=(t→∞)lim t^k/e^(t^2)=0，连续用洛必达法则可得结果）
n阶导数用y(n)表示
x=0处的导数
y(1)=lim [e^(-1/x^2)-0]/(x-0)=0
y(2)=lim 2/x^3*e^(-1/x^2)/x=0
不管求多少阶导，n阶导数，当x≠0时的表达式中，总含有e^(-1/x^2)，故
y(n)=0
然后一般情况
e^（-1/x^2)=y
-1/x^=lny
求导
2/x^3=y'/y
2y=x^3y'
莱布尼茨公式求n阶导
2y(n)=y(n+1)+3nx^2y(n)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)
所以得到
y(n+1)+y(n)(3nx^2-2)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)=0
的四阶齐次线性微分方程。
二阶齐次线性微分方程都没有一般解法。
晕，不会这么难吧？一般就是求特殊点的n阶导数值。
