两个数学题
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发布时间：2022-04-30 20:06
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热心网友
时间：2022-06-30 17:07
在圆内接四边形ABCD中,存在等式AB*CD+AD*BC=AC*BD
(证明在任意一本竞赛书中都有,是一个很常用的定理)
证明:因为∠BCD+∠BAD=180
所以A,B,C,D四点共圆
所以AB*CD+AD*BC=AC*BD
因为AB=AD ∠BAD=60
所以AB=AD=BD
所以BC+DC=AC
2 只需考虑一种情况,即三角形ABP,ADP,CDP,CBP面积比为a，ar，ar的平方，ar的立方.
因为三角形ABP,CDP面积比为a,ar的平方,
所以在线段AD上取点E使AE:ED=1:r的立方
在线段CB上取点F使BF:FC=1:r的立方
连接EF,点P必在线段EF上
(三角形ABP,CDP同底,只需高的比例满足1:r的立方即可)
同理,在线段AB上取点G使AG:GB=1:r
在线段CD上取点H使DH:HC=1:r
连接GH,点P必在线段GH上
所以点P是EF,GH交点
(其它比例情况同理可得到P的位置)
希望我的回答对您有所帮助
热心网友
时间：2022-06-30 17:08
BD=AB=AD
又BAD+BCD=180,ABCD四点共圆
角ACB=角ADB=60
角ACD=角ABD=60
所以ACB=ACD
BD/sinBCD=CD/sinCBD=BC/sinBDC
CD=BD*sinCBD/sin120
BC=BD*sinBDC/sin120
AC/sinABC=AB/sin60
AC/sinADC=AD/sin60
ACB+ACD=120
ABC=CBD+60
ADC=BDC+60
CBD+BDC=60
sin(CBD+60)/sin60=sin(BDC+60)/sin60
CBD=BDC=30
BC+CD=BD(sinCBD+sinBDC)/sinBCD
=BD/sin120
AC=AB*sin90/sin60
=AB/sin60
sin120=sin60
AB=BD
则BC+CD=AC
2
过P作AB,CD的垂线，交AB于E,CD于F
过P作AD,BC的垂线，交AD于G,BC于H
因为AB=CD,PE/PF=a/ar^2=1/r^2
AD=BC，PH/PG=ar/ar^3=1/r^2
则过B作AD垂线，其高为h1,在垂线上取一点M，使BM=h1/(r^2+1),过M作BC平行线MP
过C作AB垂线，其高为h2,在垂线上取一点N，使CN=h2/(r^2+1),过N作AB平行线NP
MP,NP交点即为P
