正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN...
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发布时间：2024-07-03 07:02
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时间：2024-08-27 23:16
延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN=∠ABC=90°，
∴A B N M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴MA=MN，∴①正确；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，
在△ABN和△ADF中
∵AD=AB∠ABN=∠ADFBN=DF，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵AF=BN∠FAQ=∠NAQAQ=AQ，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN=∠AQD，∴②正确；
在△ADQ和△AHQ中
∵∠AQD=∠AQN∠ADQ=∠AHQ=90°AQ=AQ，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S△ADQ=S△AQH，
∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=12S五边形ABNQD，
∴③正确；
∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，
∴④正确．
故选A．
