一道几何竞赛题

发布网友发布时间：2024-05-11 16:37

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热心网友时间：2024-06-06 18:46

第一个问题：
令△ECF的外接圆圆心为为P，延长AM交⊙P于J。
∵C、H、F、J共圆，∴∠FJH＝∠FCH。
∵A、B、C、H共圆，∴∠FCH＝∠BAH。
由∠FJH＝∠FCH，∠FCH＝∠BAH，得：∠FJH＝∠BAH，即：∠AJF＝∠JAE，∴FJ∥AE。

∵J、E、C、H共圆，∴∠DCH＝∠EJH。
∵D、A、C、H共圆，∴∠DCH＝∠DAH。
由∠DCH＝∠EJH，∠DCH＝∠DAH，得：∠EJH＝∠DAH，即：∠AJE＝∠JAF，∴EJ∥AF。

由FJ∥AE，EJ∥AF，得：AEJF是平行四边形，∴EM＝FM，即：M是EF的中点。

第二个问题：
延长GM交⊙P于K。
∵K、J、C、H共圆，∴∠KJH＝∠KCH。
∵A、G、C、H共圆，∴∠GAH＝∠KCH。
由∠KJH＝∠KCH，∠GAH＝∠KCH，得：∠KJH＝∠GAH，即：∠GAJ＝∠KJA，∴KJ∥AG，
又AEJF是平行四边形［第一个问题时证得］，有：JM＝AM。
由M＝AM，KJ∥AG，得△KJM≌△GAM，∴KJ＝GA。

由证得的∠KJA＝∠GAJ，∠AJF＝∠JAE，得：∠KJA－∠AJF＝∠GAJ－∠JAE，
即：∠FJK＝∠EAG。
再由平行四边形AEJF，得：FJ＝EA。
由FJ＝EA，∠FJK＝∠EAG，KJ＝GA，得：△FJK≌△EAG，∴∠FKJ＝∠EGA。

∵E、F、K、J共圆，∴∠FEJ＋∠FKJ＝180°，结合证得的∠FKJ＝∠EGA，
得：∠FEJ＋∠EGA＝180°，显然，由平行四边形AEJF有：∠FEJ＝∠AFE，
∴∠AFE＋∠EGA＝180°，∴A、G、E、F共圆。

热心网友时间：2024-06-06 18:46

图呢
没图不好做呀