应用数学新时代的曙光
发布网友
发布时间：2024-07-02 11:51
共1个回答
热心网友
时间：2024-09-17 13:32
2021年四月，美国数学学会发布的一则公告，预示着一个全新的应用数学时代的到来。科学研究的两大传统路径——开普勒数据驱动和牛顿原理探寻，正在被深度交融，统计与机器学习的融合正在打破边界。 曾经，数据驱动如行星运动定律在生物信息学的探索，与牛顿理论物理学的原理探寻，各自独立。然而，统计方法和机器学习的崛起，虽揭示了大量规律，但解释力的局限性日益显现。牛顿范式追求的严谨性和普适性，面对量子力学这样的复杂领域，往往不得不接受近似处理的妥协。 应用数学，源自微分方程的辉煌，特别是流体力学的成功，如偏微分方程和数值方法。柯朗学派与英式学派的碰撞，彰显了计算与理论的双重追求。小波和压缩感知等技术，正驱动着应用数学的创新，促使数据驱动方法在信号处理等领域飞速发展。 尽管流体力学和固体力学等领域的应用硕果累累，偏微分方程领域的复杂性挑战也随之增加。遗留问题如湍流的解决，以及新领域如材料科学的探索，对应用数学提出了新的要求。高维问题的“维数灾难”和多尺度建模的潜力，呼唤着机器学习的介入。机器学习，特别是深度学习，正以强大的力量革新数值积分和控制论，为湍流模型和经验近似提供革新性的解决方案。 机器学习不仅是实现科学梦想的工具，更是将数据、模型和物理世界无缝融合的关键。然而，模型的可解释性和可靠性，以及如何满足物理约束，是前进路上的必要考量。同步机器学习与“适定”学习的出现，进一步推动了这一进程，挑战传统，追求第一性原理。 在图像处理领域，连续变分问题的离散化，如Mumford-Shah和Rudin-Osher-Fatemi模型，虽面临精度质疑，但为图像处理提供了一个与偏微分方程紧密相连的数学框架。机器学习不仅扩展了高维分析的边界，如函数*近，还影响了概率分布、动力系统和复杂性分析的理解。 机器学习对偏微分方程正则性理论，尤其是贝尔曼方程，产生了深远影响。应用数学在新时代，已不再仅仅是数学工具，而是建模、学习和算法的综合体系，代数、分析、几何和拓扑的纯数学根基，与物理模型、数据分析和算法设计交织共生。 教育改革刻不容缓，一流大学的课程设置应强化应用数学，包括物理原理与数学工具的建模、机器学习和统计学的学习，以及连续与离散算法的教学统一。通过构建应用数学课程体系，我们期待开启一个科学融合的全新纪元，延续牛顿时代和冯·诺依曼时代的辉煌。 我们感谢Ensquist、Osher和Malek-Madani教授的洞见和启示，他们的工作是推动这一新时代的重要基石。让我们携手共进，迎接应用数学新时代的黎明，为科学和技术的创新贡献力量。
应用数学的新曙光：迈向深度融合的科学新时代</
转折点：挑战与机遇并存</
图像处理的数学新视野</
应用数学的成熟与融合</
致敬先驱与未来</
