发布网友 发布时间:2022-05-06 13:46
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热心网友 时间:2022-06-30 19:42
薄板理论是一个近似理论。薄板挠度微分方程是以下面三个假设为基础的:①原垂直于板中面的线段仍垂直于变形后的中面;垂直于中面的正应力(见应力)远小于平行于中面的应力分量,故可以忽略;③在垂直于板中面的载荷作用下发生弯曲时,板中面不受拉伸。其中①和③称为基尔霍夫假设。根据这些假设导出的微分方程适用于小挠度情况,即挠度和板厚度相比为一小量。
在垂直于板中面的分布载荷作用下(图1),薄板挠度的微分方程为:
式中p(x,y)为垂直于板面的分布载荷;w为载荷作用下板中面各点沿z方向的位移(即挠度);
为板的弯曲刚度,E为板材料的弹性模量,v为泊松比(见材料的力学性能);t为板厚。
如果在板的中面内还有张力Nx、Ny和剪力Nxy(图2),则微分方程为:
如果薄板被弹性地基支承,根据温克勒假设,即地基的反作用力和沉陷深度成正比,则有:
式中k为地基的弹性模量。
对于正交各向异性板,弯曲面的微分方程为:
式中的Dx、H、Dy均为正交各向异性板的有关常数。
上述方程通过坐标变换还可写成其他形式,以便求解其他形状的板。例如通过极坐标变换,可得到求解各向同性圆板弯曲面的微分方程如下: