薄板理论的微分方程

发布网友发布时间：2022-05-06 13:46

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热心网友时间：2022-06-30 19:42

薄板理论是一个近似理论。薄板挠度微分方程是以下面三个假设为基础的：①原垂直于板中面的线段仍垂直于变形后的中面；垂直于中面的正应力（见应力）远小于平行于中面的应力分量，故可以忽略；③在垂直于板中面的载荷作用下发生弯曲时，板中面不受拉伸。其中①和③称为基尔霍夫假设。根据这些假设导出的微分方程适用于小挠度情况，即挠度和板厚度相比为一小量。
在垂直于板中面的分布载荷作用下（图1），薄板挠度的微分方程为：
式中p（x，y）为垂直于板面的分布载荷；w为载荷作用下板中面各点沿z方向的位移（即挠度）；
为板的弯曲刚度，E为板材料的弹性模量，v为泊松比（见材料的力学性能）；t为板厚。
如果在板的中面内还有张力Nx、Ny和剪力Nxy（图2），则微分方程为：
如果薄板被弹性地基支承，根据温克勒假设，即地基的反作用力和沉陷深度成正比，则有：
式中k为地基的弹性模量。
对于正交各向异性板，弯曲面的微分方程为：
式中的Dx、H、Dy均为正交各向异性板的有关常数。
上述方程通过坐标变换还可写成其他形式，以便求解其他形状的板。例如通过极坐标变换，可得到求解各向同性圆板弯曲面的微分方程如下：