什么是三角形的重心,它有什么性质?
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发布时间：2024-05-05 22:28
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热心网友
时间：2024-07-29 04:04
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
证明
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明1：燕尾定理：S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，
再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
证明2：塞瓦定理：如图1，在△ABC中，AD、BE、CF是中线，则AF=FB，BD=DC，CE=EA。
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1 ∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点。
三角形的重心具有以下性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
具体来说，设三角形ABC的重心为G，则AG:GD=2:1，其中D是BC的中点。同理，BG:GE=2:1和CG:GF=2:1，其中E和F分别是AC和AB的中点。
2.三角形的重心与三顶点的连线段将三角形分割成六个面积相等的小三角形。
即，S△BGD=S△CGD=S△AGE=S△AGF=S△BGE=S△CGF。
3.三角形的重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小。
即，对于三角形ABC中的任意一点P，都有PA2+PB2+PC2≥GA2+GB2+GC2，其中G是三角形的重心。
4.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这些性质使得三角形的重心在几何学和物理学中都有重要的应用。
热心网友
时间：2024-07-29 04:05
形心是三角形的几何中心，通常也称为重心，三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点，此点即为重心。
一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。三角形的重心与三顶点连线，所形成的六个三角形面积相等。
顶点到重心的距离是中线的2/3。重心、外心、垂心、九点圆圆心四点共线。重心、内心、奈格尔点、类似重心四点共线。三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
扩展资料：
形心的性质：
1、一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。
2、三角形的重心与三顶点连线，所形成的六个三角形面积相等。
3、顶点到重心的距离是中线的2/3。
4、重心、外心、垂心、九点圆圆心四点共线。
5、重心、内心、奈格尔点、类似重心四点共线。
6、三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
7、在直角座标系中，若顶点的座标分别为：
中点的座标为：
三线坐标中、重心的座标为：
参考资料来源：百度百科——形心
