牛顿-莱布尼茨公式怎么证明?
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发布时间：2022-05-05 17:03
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热心网友
时间：2022-06-27 19:42
证明过程如下：
设F(x)在区间(a,b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1)，记a=x0，b=xn，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)
当Δx很小时：
F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx
F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx
……
F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx
所以：
F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx
当n→+∞时，∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)
扩展资料：
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。
参考资料来源：百度百科-牛顿-莱布尼茨公式
热心网友
时间：2022-06-27 19:43
虽然这只是一个公式，死记硬背却并非那么好的一个办法。透过这个公式看本质，才是最主要的嘛。^(>-<)^
从根源开始挖掘。先简单地提几个基础定义。
求导是什么？求导就是求一个函数曲线的斜率随x变化而变化的函数。
函数F求导之后变成函数G， 则G 为F 的导函数， F 为G 的原函数。
求导是已知F求G 。如果只知道G，怎么求F？也就是说，是哪个函数求导之后变成了G？
那么这个求F 的过程就是求导的逆运算，也就是积分。
怎么通过导函数求得原来的函数呢?需要算出该曲线到x轴的面积与x的关系式。则以【面积-x】作为变量的函数就是求导之前的那个函数。
一个函数的导函数是其斜率和x的函数，则原函数是其到x轴面积与x的函数。
废话不再多说，上公式。
没法传图，那么就请用你那强大的想象能力。。。
求函数的定积分，就是在一条曲线上取一个范围，在这个范围内函数到x轴的面积，是常数。
不定积分则是求这个函数的原函数，即“面积与x的关系”，是一个函数。
都是面积。不定积分把面积视作变量，而定积分就是计算一个面积数值。
无论是原函数F(x)还是导函数f(x)，折腾来折腾去x永远不变。
那么就假设函数曲线有俩垂直线段接触x轴。（不如在纸上画图试试？）
设：该曲线的区间为[0,b]
中间围着的这块面积就是函数在这个区间的定积分。
假定有一链接函数与x轴的垂直线段可左右移动。
因为该曲线到y轴就没了，所以线段与y重合时，面积为0.
移到b处，面积自然而然就是F(b)，也就是之前所说的 面积和x关系的函数F(x)。而正好这个函数也只能到b，所以F(b)就是这个函数到x的面积。
如果将图象略微右移，那么函数的左区间就变成了a。
那么要稍微画一条辅助线了。你可以延长该曲线然后使其交于x轴于c，也可以在a左边做一条和a，b一样的线段c。只是思想实验，本质上是一样的。
这个时候F(b)就是从c到b的面积了，而a与c形成的面积，是不是F(a)！
所以a与b之间的面积就是F(b)-F(a).公式就这么来的。
如果能看得透一点，那么这个公式的本质其实就是：
y=f(x). 如果有x1,x2
则有 y(增量)=f(x2)-f(x1)。只不过这个公式是针对基础算法的，牛莱公式是针对微积分这个高等算法的。
热心网友
时间：2022-06-27 19:43
则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)
当Δx很小时，
F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx
F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx
……
F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx
所以，
F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx
当n→+∞时，∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)
热心网友
时间：2022-06-27 19:44
写的都什么啊，看我现场手写证明。
热心网友
时间：2022-06-27 19:44
