...C 1 D 1 中,E、F分别是BB 1 、CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A 1...
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发布时间：2024-03-17 21:23
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时间：2024-07-30 18:20
建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，
不妨设正方体的棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A 1 （2，0，2），D 1 （0，0，2），
设平面AED的法向量为n 1 =（x 1 ，y 1 ，z 1 ），
则n 1 · =（x 1 ，y 1 ，z 1 ）·（2，0，0）=0，
n 1 · =（x 1 ，y 1 ，z 1 ）·（2，2，1）=0，
∴2x 1 =0，2x 1 +2y 1 +z 1 =0.
令y 1 =1,得n 1 =(0,1,-2),
同理可得平面A 1 FD 1 的法向量n 2 =(0,2,1).
∵n 1 ·n 2 =0，∴n 1 ⊥n 2 ,
∴平面AED⊥平面A 1 FD 1 .
（2）解 由于点M在直线AE上，
设 = = （0，2，1）=（0，2 ， ）.
可得M（2，2 ， ），∴ =（0，2 ， -2），
∵AD⊥A 1 M，∴要使A 1 M⊥平面ADE，
只需A 1 M⊥AE，
∴ · =（0，2 ， -2）·（0，2，1）=5 -2=0，
解得 = .
故当 = 时，A 1 M⊥平面ADE.
