抛物线y²=x的一条弦PQ被直线x+y=2垂直平分,O为坐标原点,求三角...
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发布时间：2024-03-08 21:01
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时间：2024-03-11 17:27
设PQ的直线解析式：y=x+b
则 y=x+b
y²=x
即 (x+b)²=x
x²+(2b-1)x+b²=0
x1+x2=1-2b
y1+y2=x1+x2+2b=1
PQ中点坐标（(1-2b)/2，1/2)
代入 x+y=2中
(1-2b)/2+1/2=2
-b=1
b=-1
则直线PQ的解析式为y=x-1
x1+x2=3
x1*x2=1
|x1-x2|=√9-4=√5
PQ=|x1-x2|/cos45°=√10
原点到PQ直线的距离：d=|-1|/√2
△OPQ的面积=PQ*d/2=√5
热心网友
时间：2024-03-11 17:26
设弦所在的直线是 y=x+b, (垂直于 x+y=2). 则 P(x1,y1), Q(x2,y2) 满足 y=x+b 和 y^2=x.
又P,Q的中点在x+y=2上, 即 (x1+x2)/2 + (y1+y2)/2 = 2. 利用伟达定理, 可以在不求出P,Q点具体表达式的情况下得到 x1+x2 = 1-2b, y1+y2 = 1, 代入即解得 b = -1.
直线PQ的长度 = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = √((x1 + x2)^2 - 4*x1*x2 + (y1-y2)^2 - 4*y1*y2) = √10
(同样利用了伟达定理)
点 O 到直线PQ的距离 h = |0*1+0*(-1)+b|/√(1^2+1^2) = 1/√2
三角形POQ的面积 = 1/2 * h * PQ = √5 / 2
