A为实对称阵,由线性变换得到对应特征值的对角阵,那么进行变换的P一定正 ...
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发布时间：2024-03-15 11:20
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时间：2024-03-26 13:10
从P的构造方法可以理解, 这个问题有三个层面.
1. 正交基不一定是标准正交基.
P是以A的特征向量为列向量的矩阵, 只有当列向量构成一组标准正交基时才为正交阵.
但是特征向量乘以非零常数仍为特征向量, 一般来说特征向量未必是单位向量.
因此不为正交阵的情况其实才比较多.
2. 大于1维的空间的基未必是正交基
实对称阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
但是维数大于1的特征子空间可以取不同的基, 其中的的向量未必两两正交.
当然我们总能用Schmidt正交化取得一组正交基, 这是为了使P为正交阵而必要的操作.
反过来说, 如果只是随意的选取特征向量, 得到的矩阵P的列向量甚至未必是两两正交的.
3. 一般矩阵的属于不同特征值的特征向量未必彼此正交.
其实这是矩阵可以用正交阵对角化的一个充要条件(前提是可对角化).
可以在实数域上正交对角化的实矩阵只有对称阵.
如果放宽限制到复数域, 要把内积相应推广, 正交阵推广为酉矩阵U*U = E(U*为U的转置的复共轭).
对于复矩阵A, 可以证明以下三条等价.
(1) A可对角化, 且属于不同特征值的特征向量彼此正交(复内积意义下).
(2) A可用酉矩阵对角化.
(3) A为正规矩阵, 即A与A*可交换: A*A = AA*.
实矩阵中的正交阵是正规矩阵的特例, 但通常通常不能在实数域上对角化.
