证明方程cosx+x-1=0 在【-π/2,π/2】内有唯一实根?

发布网友发布时间：2024-04-22 22:02

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热心网友时间：2024-07-22 22:59

第一题：令f(x)=cosx+x-1,显然f(x)是连续函数,那么f'(x)=1-sinx,由于x∈[-π/2,π/2],所以f'(x)≥0,故而f(x)在[-π/2,π/2]内严格递增（x=π/2时取等号,而此时在端点不影响函数严格递增）,又f(-π/2)=-1-π/2＜0,f(π/2)=π/2-1＞0,由函数的连续性知道,存在一点x0∈[-π/2,π/2],使得f(x)=0,也即方程cosx+x-1=0 在[-π/2,π/2]内有一实根,由f(x)严格递增,故而与x轴至多只有一个交点,故而有唯一实根.
第二题：由已知y'=6x²-6x,令y'=0得x1=0,x2=1,于是有
x∈（-∞,0],y'＞0,y递增
x∈（0,1],y'＜0,y递减
x∈（1,+∞),y'＞0,y递增
于是在[-1,2]上的最大值和最小值必然在x=-1或0或1或2上取得,而y(-1)=-4,y(0)=1,y(1)=0,y(2)=5,于是在[-1,2]上的最大值和最小值分别为5和-4.
第三题：原式=∫(x+1)/(x-2)dx=∫(x-2+3)/(x-2)dx=∫dx+3∫1/(x-2)dx=x+3ln(x-2).
第四题：将0带入原式,得到分子分母均为0,即原式是0/0型,由洛必达法则,分别对分子分母求导,之后发现得到式子仍是0/0型,再次求导,之后是数/数型,直接带入0求得答案.原式=lim sinx/{ln(1+x)+x/(1+x)}=lim cosx/{1/(1+x)+1/(1+x)²}=1/2,1,(1)令f(x)=cosx+x-1,易证f(x)在【-π/2，π/2】上单调增，
且f(-π/2)=-1-π/2<0，
f(π/2)=π/2-1>0；
故f(x)在【-π/2，π/2】上与X轴有且只有一个交点；
得证；
(2)对Y求导，得Y'=6x²-6x=6x(x-1)
当x<0或x>1时，Y'>0，此时Y单调增；
当0 0,证明方程cosx+x-1=0 在【-π/2,π/2】内有唯一实根
求函数Y=2x³-3x²+1的单调区间,并求在【-1,2】上的最大值和最小值?
求不定积分(x+1/x-2)*dx
计算limx-0 1-cosx/xln（1+x）