是双曲线 上一点, 、 分别是双曲线 的左、右顶点,直线 , 的斜率之...
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发布时间：2024-04-22 11:47
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时间：2024-08-10 03:26
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足 ，求 的值． (1) e＝ . (2)λ＝0或λ＝－4.
试题分析：(1)点P(x 0 ，y 0 )(x 0 ≠±a)在双曲线 ＝1上，有 ＝1， 1分
由题意又有 · ＝ ， 2分
可得a 2 ＝5b 2 ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 ＝6b 2 ，则e＝ . 4分
(2)联立 ，得4x 2 －10cx＋35b 2 ＝0，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )
则 ① 6分
设 ， ，即
又C为双曲线上一点，即 －5 ＝5b 2 ，有(λx 1 ＋x 2 ) 2 －5(λy 1 ＋y 2 ) 2 ＝5b 2 。7分
化简得：λ 2 ( －5 )＋( －5 )＋2λ(x 1 x 2 －5y 1 y 2 )＝5b 2 。9分
又A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )在双曲线上，所以 －5 ＝5b 2 ， －5 ＝5b 2
由①式又有x 1 x 2 －5y 1 y 2 ＝x 1 x 2 －5(x 1 －c)(x 2 －c)＝－4x 1 x 2 ＋5c(x 1 ＋x 2 )－5c 2 ＝10b 2
得λ 2 ＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4. 12分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题利用双曲线的标准方程，确定得到离心率。本题（II）在利用韦达定理的基础上，又利于点在曲线上得到λ的方程，使问题得解。
