求由平面y=0,y=(√3)x,z=0以及球面x^2+y^2+z^2=9 所围成的立体体积_百...
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发布时间：2024-04-16 22:05
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时间：2024-04-18 23:31
所围成的立体体积V＝(arctank )R^3/3，解答如下:
它是由XOY平面、XOZ平面、垂直于XOY平面的平面y=kx和在第一卦限的球面z=√（R^2-x^2-y^2）所围成的立体图形，在XOY平面的投影是一个扇形，转变成极坐标为：θ=0。θ=arctank，r=R。
V=∫［0，arctank］dθ∫［0，R］√（R^2-r^2）rdr
=-（1/2）∫［0，arctank］dθ∫［0，R］√（R^2-r^2）d（R^2-r^2）
=-（1/2）∫［0，arctank］dθ（R^2-r^2）^（3/2）/（3/2）［0，R］
=（-1/3）∫［0，arctank］（-R^3）dθ
=（R^3/3）θ［0，arctank）
=（arctank）R^3/3
直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法：
（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制。
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成。
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
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时间：2024-04-18 23:38
所围成的立体体积V＝(arctank )R^3/3.，解答如下:
它是由XOY平面、XOZ平面、垂直于XOY平面的平面y=kx和在第一卦限的球面z=√（R^2-x^2-y^2)所围成的立体图形,
在XOY平面的投影是一个扇形,转变成极坐标为：θ=0.θ=arctank,r=R,
V=∫[0,arctank] dθ∫[0,R] √（R^2-r^2)rdr
=-(1/2)∫[0,arctank] dθ∫[0,R]√（R^2-r^2)d(R^2-r^2)
=-(1/2)∫[0,arctank] dθ(R^2-r^2)^(3/2)/(3/2) [0,R]
=(-1/3)∫[0,arctank](-R^3)dθ
=(R^3/3)θ[0,arctank)
=(arctank )R^3/3
扩展资料：
三重积分计算方法总结
在球坐标下计算三重积分，球坐标与直角坐标的关系：
是否选用球坐标计算三重积分应注意以下两点：
1、适合用球坐标计算的三重积分的被积函数一般应具有形式：f(x,y,z)=g(x^2+y^2+z^2);
2、适合用球坐标计算的三重积分的积分区域一般应为球体，半球体，锥面和球面所围空间体等。
3、适合用柱坐标计算的三重积分的被积函数一般应具有形式：f(x,y,z)=g(z)*h(x^2+y^2);
4、适合用柱坐标计算的三重积分的积分区域一般为柱体，椎体，柱面，锥面与其他曲面所围空间体等。
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时间：2024-04-18 23:32
