如何证明根号2不是有理数?

发布网友 发布时间：2022-05-06 04:28

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热心网友 时间：2022-06-28 17:44

如果根号2是有理数，那么根号2=某个分数a/b。这个a,b可能都是2的倍数，那么可以把它约分，所以可以假设a，b不全是2的倍数。
于是2=a^2/b^2.即a^2=2b^2。可见a一定是偶数。设a=2x,其中x是整数。那么4x^2=2b^2,b^2=2x^2。可见b也是偶数。这与a，b不全是2的倍数矛盾！
所以假设不成立，即根号2不是有理数

热心网友 时间：2022-06-28 17:45

如果是有理数，刚可以表示为a/b（a，b均为整数且互质）
则a^2=2b^2
因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数
设a=2c
则4c^2＝2b^2
b^2=2c^2
所以b也是偶数
这和a,b互质矛盾。
所以，根号2是无理数。

参考资料：非原创，答案来自百度知道

热心网友 时间：2022-06-28 17:45

根据有理数的性质，就是任何有理数都是可以分数化，即可以用a/b表示，但是无理数则没有这性质，所以可以假设根号2是有理数，那么肯定可以用a/b表示，假设a/b是最简分数，即a和b没有公约数了。那么a/b=根号2，等式两边平方，得到a^2/b^2=2，这明显是与题设矛盾的，因为本来是最简分数，平方之后又出现了约数了，所以题目假设不成立，所以根号2是一个无理数。但是这个里面存在一个隐含条件，就是假如a/b不是最简分数，a必须是个偶数，同时b也是偶数，那么我们就可以将两数相约，得到最简分数。那么就成为了上面的形式了。

热心网友 时间：2022-06-28 17:46

如果是有理数则，存在p,q两个数，且p,q互素，满足
p/q=sqrt(2)
则
p^2/q^2=2
则p^2一定能是偶数，因此，p也一定是偶数

再则
q^2=p^2/2
因为p是偶数，所以 p^2/2也一定是偶数，
由此可得到 q^2是偶数，
那么q也一定是偶数。

也就是说p.q都是偶数，能被2整除，与前面的p,q互素相矛盾，
因此sqrt(2) 不是有理数

热心网友 时间：2022-06-28 17:46

假设√2是有理数
则√2可以写成一个最简分数
假设是p/q=√2，p和q互质
平方
p^2=2q^2
右边是偶数，所以左边p^2是偶数
则p是偶数
设p=2n
则4n^2=2q^2
q^2=2n^2
这样则q也是偶数
这和p和q互质矛盾
所以假设错误
所以√2不是有理数