抽象代数: 如何在整数环上构造一个群/半群?

发布网友发布时间：2022-05-06 05:16

共1个回答

热心网友时间：2022-06-29 15:22

整环不妨表示为(Ζ,+,*)，下面简记为Ζ

不妨任取n∈Ζ+(正整数)

nΖ=<n>={n*i | i∈Ζ}, <n>表示以n为生成元的循环群

在整环Ζ上定义关系～：i～j iff i-j∈nΖ(即i≡j(mod n))

容易验证～是一个Ζ上的等价关系,所以有Ζ关于～的等价类Ζ/～;

容易得到Ζ/～ = {[i] | i=0,1,...,n-1},其中[i]={j∈Ζ | j～i}；

下面定义Ζ/～上面的乘法·:

任取[i],[j]∈Ζ/～，[i]·[j]=[i+j]

容易验证Ζ/～有单位元[1],任意元素[i]逆元为[-i]，封闭性易得。

所以Ζ/～关于·做成一个群(Ζ/～,·)

这就是在整环(Ζ,+,*)上面构造出来一个群(Ζ/～,·)，或者说由环(Ζ,+,*)“诱导”出来的一个群。

如果在Ζ/～上定义⊙：[i]⊙[j] = [i*j]，那么容易得到(Ζ/～,⊙)是一个(含幺)半群而不是群，因为不是所有的元素都有逆元.

你自己还可以考虑其它的建构情况，感觉还有不少~
===========================================================

【附】概述群和环的关系，一个是定义了一种运算的集合，一个是定义了两种运算的集合(在第一种的基础上补充定义了一个新的运算)，仅此而已。关于群和环上面定义的运算具体要满足的条件，不妨自己看书，自己总结。