请问一阶群是单群吗?
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发布时间：2024-04-11 18:19
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时间：2024-06-18 10:15
由Sylow定理, 该群有1个或6个Sylow 5-子群. 若只有1个, 则为正规子群, 该群不为单群.
若有6个, 这6个子群共含有6·(5-1) = 24个5阶元.
再考虑Sylow 3-子群, 个数可能为1, 3, 10.
若有不少于3个, 则至少有3·(3-1) = 6个3阶元.
单位元+5阶元+3阶元个数 > 30, 矛盾.
故只能有1个3阶子群, 为正规子群, 该群不为单群.
p²q阶群:
若p = q, p-群有非平凡的中心, 故不为单群.
若p > q, 则Sylow p-子群只能有1个 (p不整除q-1), 为正规子群, 该群不为单群.
若q > p, 除去q = 3, p = 2以外, 有q > p+1. 则q不整除p-1, 也不整除p²-1 = (p+1)(p-1).
于是Sylow q-子群只能有1个, 为正规子群, 该群不为单群.
最后讨论p = 2, q = 3的情况.
考虑Sylow 3-子群, 有1个或4个.
若只有1个则为正规子群, 该群不为单群.
若有4个, 则共有3阶元4·(3-1) = 8个, 剩下12-8 = 4个元素.
于是只能有1个Sylow 2-子群, 该群不为单群.
