已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=...

发布网友 发布时间：2024-04-14 00:41

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热心网友 时间：2024-04-15 13:51

证明：
令xi=2yi,其中i=1,2,…,n
从而X1X2…Xn=（2y1)(2y2)…(2yn)=2^n(y1y2…yn)=1
从而y1y2…yn=1/2^n=（1/2）^n=0.5^n
又因为
(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)
=(2+2y1)(2+2y2)...(2+2yn)
=2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
所以要证明(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
只需证明2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)>=3^n
即(1+y1)(1+y2)...(1+yn)≥3^n/2^n=（3/2）^n

由二项式定理，可得
（3/2）^n=（1+0.5)^n
=1+n×0.5
+0.5²n(n-1)/2
+…
+C(n,t)0.5^n
+…
+0.5^n ①
上式中的C(n,t)为从n个元素中取出t个元素的组合数。

又可知
(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
=1+（y1+y2+...yn)
+(y1y2+y1y3+...+y(n-1)yn)
+…
+(y1y2…yt+…）
+…
+y1y2…yn ②
上式中（y1y2…yt+…）表示从y1到yn这n个数中取t个数，相乘，再把所有这样的乘积相加

下面我们来证明②式中的每一项都大于或等于①式中的对应项。
第一项，都是1，是成立的。
第二项，由均值不等式，
（y1+y2+...yn）/n≥(y1y2…yn)^(1/n)= (0.5^n)^(1/n)=0.5
即y1+y2+...yn≥n×0.5
是成立的。
...
第t+1项（即一般项），同样由均值不等式，
(y1y2…yt+…）/C(n,t)≥[（y1y2…yt）×…]^（1/C(n,t)）
=[（y1y2…yn）^C(n-1,t-1)]^（1/C(n,t)）
=（y1y2…yn）^（t/n)
=（0.5^n）^（t/n)
=0.5^t ③
即(y1y2…yt+…）≥C(n,t)0.5^n
结论是成立的。
③式中的C(n-1,t-1)是说，把所有C(n,t）个这样y1y2…yt类型的式子相乘后，从y1到yn，都会重复得乘C(n-1,t-1)遍。
...
最后一项（第n+1项），都是y1y2…yn，结论是成立的。
证完。

注一：其实只需证明一般项即可。写出第一、二和第n+1项，是为了理解起来更直观。
注二：容易看出，用上面的证明思路可以证明更一般一些的结论：
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+1)^n
当然也可推广到更一般一些的结论：
已知X1X2…Xn=p^n,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+p)^n

等号都是在x1=x2=...=xn时成立。

热心网友 时间：2024-04-15 13:52

因为x1,x2,x3.....xn都是正数，所以有1+x1>=2√x1,1+x2>=2√x2,1+x3>=2√x3......1+xn>=2√xn
于是就有了:(1+X1)(1+X2)...(1+Xn)>=2^n√(x1x2x3....xn)=2^n
不等式得证。