这题的原函数是多少?
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发布时间：2024-04-05 04:40
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时间：2024-04-07 14:11
说得更明确一点, 在R上处处可导, 并使F'(x) = f(x)对任意x成立的函数F(x)是不存在的.
因为Darboux定理表明, 导函数是具有介值性的, 但f(x)在0的邻域上不具有介值性.
证明: 用反证法, 假设存在f(x)的原函数F(x).
由F(x)在[-1,1]可导, 且F'(-1) = f(-1) = -1, F'(1) = f(1) = 1.
根据Darboux定理, 对介于F'(-1) = -1与F'(1) = 1之间的实数1/2,
存在a ∈ (-1,1), 使F'(a) = 1/2.
但易见F'(x) = f(x)在(-1,1)上不能取到1/2, 矛盾.
因此f(x)不存在原函数.
(由证明过程易见, 无论怎样补充定义f(0), 都不能使f(x)存在原函数).
如果将定义域限制为(-∞,0)∪(0,+∞), 那么其上的函数f(x) = 1/x是存在原函数的.
其原函数F(x)的一般表达式为:
对x < 0, F(x) = ln(-x)+A; 对x > 0, F(x) = ln(x)+B, 其中A, B为任意常数.
积分公式经常写为F(x) = ln(|x|)+C, 但这其实是不完整的, 至少应理解为C可以是分段常值.
