机器学习-LDA(线性判别降维算法)
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发布时间：2024-04-05 14:55
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时间：2024-04-07 11:19
探索深度：机器学习中的LDA(线性判别降维算法)
LDA，即线性判别分析，与PCA（主成分分析）的策略截然不同。它是一种有监督的降维技术，其核心理念是最大化类别间的差异，同时保持同一类内的数据点紧凑。LDA基于两个核心假设：
数据根据样本均值分类：原始数据的类别区分主要依赖于样本的平均值分布。
共享协方差矩阵：所有类别的数据共享同一个协方差结构。
虽然这些假设在现实世界中往往不成立，但在许多情况下，LDA依然能展现出出色的效果，尤其当数据的区分主要依赖于均值时。
直观理解LDA与PCA的差异：
图1展示了一个理想场景，LDA在均值主导的分类中效果显著，而PCA对于这类数据的区分则不如LDA。
图2则展现了另一情况，当类间主要差异在于方差时，PCA的降维效果优于LDA，因其更侧重于最大化方差。
LDA的基本思想与推导：
通过将数据投影到低维空间，LDA追求同一类数据的紧凑和不同类数据的分离。
通过数学推导，LDA在二分类和多分类问题中的目标都是找到一个投影向量，使得类内数据点的差异最大化，类间数据点的差异最小化。
尽管推导过程涉及到复杂的矩阵运算，但最终目标是找到最优的投影向量，将数据降维至最大化类别区分度的维度。
算法流程与实例演示：
计算类内和类间散度矩阵
构造特征矩阵
特征分解并选择关键特征向量
应用特征向量对数据进行投影
例如，我们以一个包含属性和类别的数据集为例，展示LDA的具体应用步骤。
优缺点和适用性：
优点：速度快且能利用先验类别信息，尤其在类别数少、维度高的情况下。
缺点：对非高斯分布的数据处理不佳，且降维后的维数最多为类别数减一，不适合类别数多、维度低的情况。
深入理解LDA，无疑为我们揭示了有监督降维的强大工具，但同时也提醒我们，选择哪种方法应根据具体问题的特性进行权衡。
