求平面x-2y+2z+21=0与平面7x+24z-5=0之间的两面角的平分面,请写出...
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发布时间：2024-04-18 10:22
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热心网友
时间：2024-04-23 16:33
p1和p2决定一直线，我们设为l。
所有通过直线l的平面p的方程可以设为：x-2y+2z+21+k(7x+24z-5)=0,k为待定系数。即(1+7k)x-2y+(2+24k)z+21-5k=0。
p1的法向量为n1={1,-2,2},p2的法向量为n2={7,0,24}或{-7,0,-24}。（考虑到一个面上的法向量有两个方向）。
这两个向量的单位向量为
n1={1/3,-2/3,2/3},
n2={7/25,0,24/25}或{-7/25,0,-24/25}.
设n1和n2的和向量为n
显然，根据平行四边形拥有的性质，不难得到如下结论，向量n与n1,n2的夹角相等。
很显然，与向量n垂直的平面必定平分p1,p2所夹的二面角，即为题目所要求的平面。
n={1/3+7/25,,-2/3+0,2/3+24/25}={46/75,-2/3,122/75}或
n={1/3-7/25，,-2/3-0，2/3-24/25}={4/75,-2/3,-22/75}。
即n={23，-25，61}或{2，-25，-11}
所以p的方程可以为：
23x-25y+61z+d=0或
2x-25y-11z+d=0。（d为待定系数）
又p得方程还可以为(1+7k)x-2y+(2+24k)z+21-5k=0
（1）
所以对应系数成比例，故k=3/25或-3/25。
最后带入方程（1），得到平分它们所夹二面角的平面方程如下：
23x-25y+61z+255=0
或
2x-25y-11z+270=0
上面的解法考虑了p2的法向量有两个相反方向，如果考虑p1的话，结果是一样的。
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或者这样做，得到23x-25y+61z+d=0或2x-25y-11z+d=0这两个平面方程后，由于p平面必定过p1与p2的交线l,所以可以通过联立x-2y+2z+21=0，7x+24z-5=0这两个方程（不定方程，解无穷多个，可以随便取一个解），得到直线l上的一个点，将这个点的坐标分别带入23x-25y+61z+d=0或2x-25y-11z+d=0这两个方程，得到最后解答。
period!
热心网友
时间：2024-04-23 16:36
x-2y+2z+21 + 入(7x+24z-5)=0,
其上取一点P(1,11+入,0),
则P到两平面距离相等,有|1-2(11+入)+ 2*0 +21|/ √1+4+4
=|7*1+0-5|/ √7^2+24^2,
即2入/3=2/25,
入=3/25,
带入化简有:23x-25y+61z+255=0,
P点坐标是任意取定的,为方便计算我取了z=0,x=1
