圆球面上点的投影如何计算?
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发布时间：2024-04-18 23:34
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时间：2024-04-25 15:17
假设我们有一个半径为
𝑟
r的圆球，圆球的中心位于坐标原点，即圆球的方程为
𝑥
2
+
𝑦
2
+
𝑧
2
=
𝑟
2
x
2
+y
2
+z
2
=r
2
。圆球面上任意一点
𝑃
P的坐标可以表示为
(
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
)
(x,y,z)，满足上述圆球方程。
要计算点
𝑃
P在某个平面上的投影，我们需要知道该平面的法向量
𝑛
⃗
n
和通过原点的平面方程。假设平面的法向量为
𝑣
𝑒
𝑐
𝑛
=
(
𝐴
,
𝐵
,
𝐶
)
vecn=(A,B,C)，则平面方程可以表示为
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑦
+
𝐶
𝑧
=
0
Ax+By+Cz=0。
点
𝑃
P到平面的垂直距离
𝑑
d可以通过点法式方程计算得到，即：
𝑑
=
∣
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑦
+
𝐶
𝑧
∣
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
d=
A
2
+B
2
+C
2
∣Ax+By+Cz∣
点
𝑃
P在平面上的投影点
𝑃
′
P
′
的坐标
(
𝑥
′
,
𝑦
′
,
𝑧
′
)
(x
′
,y
′
,z
′
)可以通过以下方式计算：
首先，我们计算点
𝑃
P到平面的垂线段长度，即点
𝑃
P到平面的最短距离
𝑑
d。
然后，我们计算点
𝑃
P到圆球中心（原点）的向量
𝑣
𝑒
𝑐
𝑂
𝑃
=
(
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
)
vecOP=(x,y,z)。
接着，我们计算向量
𝑂
𝑃
⃗
OP
在法向量
𝑛
⃗
n
方向上的投影分量，即
𝑣
𝑒
𝑐
𝑂
𝑃
vecOP在
𝑛
⃗
n
方向上的投影长度为
𝑂
𝑃
⃗
⋅
𝑛
⃗
∣
𝑣
𝑒
𝑐
𝑛
∣
OP
⋅
∣vecn∣
n
。
由于点
𝑃
′
P
′
在平面上，它满足平面方程
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑦
+
𝐶
𝑧
=
0
Ax+By+Cz=0，我们可以通过解这个方程来找到点
𝑃
′
P
′
的坐标
(
𝑥
′
,
𝑦
′
,
𝑧
′
)
(x
′
,y
′
,z
′
)。
具体的计算方法如下：
𝑣
𝑒
𝑐
𝑂
𝑃
⋅
𝑛
⃗
∣
𝑛
⃗
∣
=
(
𝑥
𝐴
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
,
𝑦
𝐵
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
,
𝑧
𝐶
𝑠
𝑞
𝑟
𝑡
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
)
vecOP⋅
∣
n
∣
n
=(
A
2
+B
2
+C
2
xA
,
A
2
+B
2
+C
2
yB
,
sqrtA
2
+B
2
+C
2
zC
)
这个向量表示了从圆球中心到平面的距离乘以法向量的方向，即点
𝑃
P到平面上投影点
𝑃
′
P
′
的方向。因此，点
𝑃
′
P
′
的坐标
(
𝑥
′
,
𝑦
′
,
𝑧
′
)
(x
′
,y
′
,z
′
)可以通过将这个向量加到圆球中心的坐标上得到：
𝑥
′
=
𝑥
𝐴
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
⋅
𝑟
x
′
=
A
2
+B
2
+C
2
xA
⋅r
𝑦
′
=
𝑦
𝐵
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
⋅
𝑟
y
′
=
A
2
+B
2
+C
2
yB
⋅r
𝑧
′
=
𝑧
𝐶
𝑠
𝑞
𝑟
𝑡
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
⋅
𝑟
z
′
=
sqrtA
2
+B
2
+C
2
zC
⋅r
这样我们就得到了圆球面上点
𝑃
P在给定平面上的投影点
𝑃
′
P
′
的坐标。
需要注意的是，这种方法假设圆球的中心位于坐标原点，如果圆球的中心不在原点，我们需要先将圆球平移到原点，进行投影计算，然后再平移回去。此外，这种方法也假设投影平面不通过圆球的中心，如果投影平面通过圆球的中心，那么圆球面上任意一点的投影都是圆球的中心。
