非齐次微分方程的特解是什么?
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发布时间：2024-02-01 01:58
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时间：2024-08-11 07:52
非齐次微分方程的特解：
求非齐次微分方程特解的通解公式为y=C1e^(k1x)+C2e^(k2x),其中C1,C2为任意常数。非齐次方程就是除了次数为0的项以外，其他项次数都大于等于1的方程。
第一步：求特征根
令ar+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)=-β）。
第二部：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)。
2、若r1=r2，则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)。
3、若r1，2=α±βi，则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。
分类
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
较常用的几个：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解：y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=asinx+bcosx
特解y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy=mx+n
特解：y=ax
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
