用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除

发布网友 发布时间：2024-01-05 04:21

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热心网友 时间：2024-04-10 23:37

不用这么麻烦的，其实。

因为任何数除以3的余数都只可能是0、1、2这三种情况！

也就是说，如果n除以3余0的话，那么n能够被3整除，n(n+1)(n+2)有3的约数；

如果n除以3的余数是1的话，那么n+2绝对能够被3整除，n+2和n-1是一个道理，因为(n+2)-(n-1)=3。也就是说，这种情况下，n(n+1)(n+2)也有3的约数；

如果n除以3余数是2，那么，n+1就能够被3整除了，即n(n+1)(n+2)有3的约数。

热心网友 时间：2024-04-10 23:39

n=1,n(n+1)(n+2)=1*2*3=6,显然成立
假设n=k时，k(k+1)(k+2)能被3整除
当n=k+1时，
n(n+1)(n+2)
=（k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)，
由假设知：式中第一项k(k+1)(k+2)能被3整除，
第二项3(k+1)(k+2)也能被3整除
所以当n=k+1时，
n(n+1)(n+2)
=（k+1)(k+2)(k+3)能被3整除
综上可知，n(n+1)(n+2)能被3整除

热心网友 时间：2024-04-10 23:37

1,假设 N = 1
原式，为1*2*3 = 6，可以被3整除
2，假设N 为任意自然数K时，有K*(K+1)*(K+2）能被3整除，
3 ,那么当N = K+1 时有，(K+1)*(K+2)*(K+3)= K*(K+1)*(K+2）+ 3*(K+1)*(K+2）
因为K*(K+1)*(K+2）能被3整除，而 3*(K+1)*(K+2）是3的倍数， 3*(K+1)*(K+2）/3 =
(K+1)*(K+2）,所以(K+1)*(K+2)*(K+3)也能被3整除。
由以上三点可以得出 n(n+1)(n+2)可以被3整除

热心网友 时间：2024-04-10 23:40

①n=1时，2*3=6可以被三整除。

②设n=k时，命题成立
即k(k+1)(k+2)=3m,m为正整数。

当n=k+1时，
因为 (k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2) = 3(k+1)(k+2)
所以 (k+1)(k+2)(k+3)=3m+3(k+1)(k+2) = 3【m+(k+1)(k+2)】
即(k+1)(k+2)(k+3)也可以被3整除。

③综上所述，原命题成立。

热心网友 时间：2024-04-10 23:41

当n=1时，n(n+1)(n+2)=6能被3整除
假设n=k时，k(k+1)(k+2)能被3整除
当n=k+1时，(k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)能被3整除
综上，对任意的正整数n,都有n(n+1)(n+2)能被3整除