如何证明三角形的三条中线交于一点
发布网友
发布时间：2022-05-03 01:47
共4个回答
热心网友
时间：2022-06-29 05:51
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC
(1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD
(2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD
(3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB
=
AE*AC
(4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB
（点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC
（点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。
热心网友
时间：2022-06-29 05:52
三角形中线的性质：
1、三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。
2、在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。
3、任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
热心网友
时间：2022-06-29 05:53
X,Y分别是BC，AC的中点，所以XY=DE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以
GD=DA=GX，GY=GE=EB，
所以
AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．
同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有
BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，
所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．
热心网友
时间：2022-06-29 05:54
易知ef//bc，em/mb=fm/mc=1/2，
∴ek/gb=em/mb=1/2，∴bg=2ek，
又ek/cg=ae/ac=1/2，∴cg=2ek，
∴bg=cg，∴ag是bc上的中线，
即三角形三中线交于一点。
设中线be，cf交于m，连结ef，am及其延长线分别交ef于k，交bc于g。
易知ef//bc，em/mb=fm/mc=1/2，
∴ek/gb=em/mb=1/2，∴bg=2ek，
又ek/cg=ae/ac=1/2，∴cg=2ek，
∴bg=cg，∴ag是bc上的中线，
即三角形三中线交于一点。
设中线be，cf交于m，连结ef，am及其延长线分别交ef于k，交bc于g。
易知ef//bc，em/mb=fm/mc=1/2，
∴ek/gb=em/mb=1/2，∴bg=2ek，
又ek/cg=ae/ac=1/2，∴cg=2ek，
∴bg=cg，∴ag是bc上的中线，
即三角形三中线交于一点。
先建系，设3点坐标为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)先做两条中线的方程，解交点，在把交点坐标带入第三个中线方程，验证成立即可
