四面体ABCD,面ABC与面BCD成60度,顶点A在面BCD上射影H是三角形BCD垂心,G...
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发布时间：2024-01-11 07:02
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时间：2024-03-11 02:15
则AM是△ABC的中线，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，（等腰△三线合一），
连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影。
∴根据三垂线逆定理，BC⊥HM，
∵H是△BCD的垂心，
∴GM在BC边上的高线DH上，即DM是BC边上的高，
∴DM是BC的垂直平分线，DB=DC，
∴〈AMD是二面角A-BC-D的平面角，
〈AMD=60°，
AH/AM=sin60°，
AM=8√3/3，
MH=AM/2=4√3/3，
在△AMH上作GN//AH，交MH于N，
根据三角形平行比例线段性质，
GN/AH=MG/MA，
根据三角形重心的性质，MG/AM=1/3，
∴GN/AH=1/3，
GN=4/3，
同理，MN/MH=1/3，
MN=（4√3/3）/3=4√3/9，
NH=MH-MN=4√3/3-4√3/9=8√3/9，
在RT△HNH中根据勾股定理，
GH^2=GN^2+NH^2,
∴GH=10√3/9。
