次方有关的所有公式,详解并举例!

发布网友 发布时间：2022-05-03 04:13

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热心网友 时间：2023-06-28 03:41

幂通俗的说就是我们通常所说的多少次方，比如平方叫二次幂，立方叫三次幂，幂的大小是整数，不能是分数和小数。。。希望可以帮到你哦。。、、请输入你的答案...一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x.
除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

后记：

一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。
二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。
三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。 2次方的 公式ax^2+bx+c=0
x=[-b+根号(b^-4ac)]/2a
x=[-b-根号(b^2-4ac)]/2a
当b^2-4ac>0时
方程有两个不等的根
当b^2-4ac=0
方程有一个根
当b^2-4ac<0
方程在实数内无解 二元二次方程组没有公式可套,只能根据不同的题型采用不同的方法:
第一类型:由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组,
a1x+b1y+c1=0 (1)
a2x^2+b2xy+c2y^2+d2x+e2y+f2=0 (2)
可用代入消元的方法转化为一元二次方程来解,这种形式的方程组一般有两组解。
第二类型:由两个二元二次方程组成的方程组
a1x^2+b1xy+c1y^2+d1x+e1y+f1=0
a2x^2+b2xy+c2y^2+d2x+e2y+f2=0
(1)如果一个二元二次方程的左边可以因式分解,则将这个方程因式分解,变为两个二元一次方程,再和另一个方程组成两个第一类型的方程组,再用代入消元,这种形式的方程组一般有四组解。
(2)如果是由一个一元二次方程和一个二元二次方程所组成的方程组,则可先解一元二次方程,再代入到另一个方程求解,这种形式的方程组一般有四组解。
(3)如果 a1:a2=b1:b2=c1:c2 则可采用消去二次项,变为第一类型可求解。
(4)如果 a1:a2=b1:b2=d1:d2 或 b1:b2=c1:c2=e1:e2 则可采用消元的方法变为第(2)种形式求解 福次方65^2-16^2）^负1/2
解是
=√1/3969
=1/63
还是
1/√3969？

是不是开分母的方在分之分子？还是一起开？还是什么？880

热心网友 时间：2023-06-28 03:42

　在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目。通过面积和体积的计算公式，可以推出相邻两数二次方和三次方的计算规律，再将其推演到不相邻两个数的N次方，同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，N次方的差可用于计算N维度的差。 编辑本段推导过程　　一、 由二次方看 　　首先，我们知道两个数的二次方的计算方法　　已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。　　解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：　　5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9 　　几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加　　4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7 　　几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加　　所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：　　(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1) 　　对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到　　(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2 　　=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2 　　几何上理解为：　　长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。　　同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：　　P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q) 　　二、再看三次方的情况 　　我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：　　已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。　　设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：　　(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1) 　　A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1) 　　几何上的理解是：　　长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。　　对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：　　P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q) 　　三、推广到四次方 　　同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：　　(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+1)^(4-4)*A^(4-1) 　　不相邻两数的四次方之差的一般公式：　　P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]*(P-Q) 　　四、结论：两个数的n次方之差计算方法，　　综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出　　相邻两个数的n次方的差的一般公式：　　P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1) 　　不相邻两个数的n次方的差的一般公式：　　P^n - Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)]*(P-Q) 编辑本段验证　　⑴ 相邻两数的N次方的差的计算验证　　3^4-2^4=81-16=65 　　3^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=65 　　6^6-5^6=46656-15625=31031 　　6^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031 　　⑵不相邻两数的N次方的计算验证　　10^5-5^5=10000-3125=96875 　　10^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5 　　=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=96875 　　11^6-9^6=1771561-531441=1240120 　　11^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9) 　　=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2 　　=620060*2=1240120 编辑本段杨辉三角的应用　　N次方差公式还可以由杨辉三角推导出，在计算次数不太高的N次方差时更简便快捷。　　杨辉三角：　　1 　　1 1 　　1 2 1 　　1 3 3 1 　　1 4 6 4 1 　　………… 　　其中　　第一行代表（a+b）的零次方展开式1每项的系数。　　第二行代表（a+b）的一次方展开式a+b每项的系数。　　第三行代表（a+b）的二次方展开式a^2+2ab+b^2每项的系数。　　依此类推。　　所以（a+b）的三次方的展开式便是　　a^3+3a^2b+3ab^2+b^3（第四行）　　如果是（a-b）的三次方，便是：a^3-3a^2b+3ab^2-b^3（就是把含有b的奇数次方所在的项的前面的加号变成减号）　　注：“^”后面的数字为“^”前字母的指数。　　(a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3 　　(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3 　　(a+b)^3=(a+b)*(a+b)*(a+b) 　　=[(a+b)*a+(a+b)*b]*(a+b) 　　=(a^2+b^2+2ab)*(a+b) 　　=(a^2+b^2+2ab)*a+(a^2+b^2+2ab)*b 　　=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b 　　=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)