当0<x<π/2时,证明sinx+tanx>2x,请用最简单的方法,和文字说明

发布网友 发布时间：2022-05-02 15:36

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热心网友 时间：2022-06-20 16:51

证明过程如下：

引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：

f′（x）＝cosx＋1/（cosx）^2－2

＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2

＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。

因为x是锐角，所以0＜cosx＜1，所以f′（x）＞0，所以，f（x）在（0，π/2）上是增函数，

又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，则f（x）在（0，π/2）上恒为正数，

所以，在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，则在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。

扩展资料：

不等式的证明方法

1、综合法

由因导果。证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

2、分析法

执果索因。证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

3、放缩法

将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知A<C，要证A<B，则只要证C<B. 若C<B成立，即证得A<B. 也可采用把B缩小的方法，若已知C<B，则只要证A<C。

4、数学归纳法

证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

5、反证法

证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

热心网友 时间：2022-06-20 16:51

追答因为给定区间cosx小于1则cosx大于cosx的平方
求导=cosx+cosx的平方分之一-2
>cosx平方+cosx的平方分之一-2
根据均值定理，cosx平方+cosx的平方分之一>2因为它俩没法取等值

热心网友 时间：2022-06-20 16:52

可以构造函数，然后求导2次