三垂线定理?射影定理?为何?

发布网友发布时间：2022-05-04 18:32

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热心网友时间：2022-06-24 16:28

三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
用线面垂直证明　　已知：如图，PO在α上的投影OA垂直于a　　求证：OP⊥a　　证明：过P做PA垂直于α　　∵PA⊥α　　∴PA⊥a　　又a⊥OA　　OA∩PA=A　　∴a⊥平面POA　　∴a⊥OP　　用向量证明三垂线定理　　1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b包含于α，且b垂直于OA，求证：b垂直于PA　　证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）　　∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O，∴PA⊥b。　　2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。　　解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
　所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：　　（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。　　等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、　　在△BAD与△BCD中，∵∠BDA=∠BDC=90°，且∠DBC+∠C=90°，　　∴∠ABD=∠C，　　又∵∠BDA=∠BDC=90°　　∴△BAD∽△CBD　　∴ AD/BD=BD/CD　　即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。　　有射影定理如下：　　AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA　　两式相加得：　　AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .　　即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。　　二、　　已知:三角形中角A=90度,AD是高.　　用勾股证射影　　∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,　　∴2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.　　故AD=BD×CD.　　运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.　　综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。任意三角形射影定理　　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有　　a=b·cosC+c·cosB，　　b=c·cosA+a·cosC，　　c=a·cosB+b·cosA。　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。