求通项公式的方法归纳
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发布时间：2022-05-05 05:05
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时间：2023-10-10 11:46
数列；数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项；1.数列的有关概念：；（1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数；函数；（3）通项公式：如果数列?an?的第n,那么这个；叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).如:a；（4）递推公式：如果已知数列?an?的第一项（或；an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示；an?f(an?1,an?
数 列
数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N?（或它的有限子集）的
函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列?an?的第n,那么这个公式
叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).如: an?2n?1。
（4） 递推公式：如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项
2
an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an?f(an?1)或
an?f(an?1,an?2)，那么这个式子叫做数列?an?的递推公式. 如数列?an?中，
an?2an?1?1，其中an?2an?1?1是数列?an?的递推公式.再如: a1?1,a2?2,an?an?1?an?2(n?2)。
2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，? （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：
按有界性?
?有穷数列
按项数?
?无穷数列
?常数列:an?2?n
?递增数列:an?2n?1,an?2
按单调性?2
?递减数列:an??n?1?摆动数列:a?(?1)n?2n?n
??有界数列:存在正数M,总有项an使得an?M，n?N?
??无界数列:对于任何正数M，总有项an使得an>M
4．数列{an}及前n项和之间的关系:
Sn?a1?a2?a3???an an???
S1,(n?1)
?Sn?Sn?1,(n?2)
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an?a1?(n?1)d，a1为首项，d为公差.可变形为an?am?(n?m)d ⑵前n项和公式Sn?3.等差中项
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
即：A是a与b的等差中项?2A?a?b?a，A，b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：an?1?an?d（n?N?，d是常数）??an?是等差数列； ⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列. 5.常用性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?an?p?、?pan?（p?an?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等差数列，公差为kd。
2
（3）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为nd；?
n(a1?an)1
或Sn?na1?n(n?1)d. 22
?Sn?
?是等差数列。 n??
（4）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d；四个数成等差数列，可设为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
（5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二
2
次函数）。（an?an?b(a,b是常数)）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，即：当a1?0，d?0，解不等式组?
?an?0
可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1
?an?0
当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.
a?0?n?1
(6) 项数为偶数2n的等差数列?an?
有
，
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项) S偶?S奇?nd，
S奇S偶
?
an
. an?1
，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)，
S奇?S偶?an，
S奇S偶
?
n. n?1
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q?0)，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式
n?1n?m
⑴通项公式：an?a1q，a1为首项，q为公比 . 可变形为an?am?q(n,m?N?)
⑵前n项和公式：①当q?1时，Sn?na1
a1(1?qn)a1?anq
?②当q?1时，Sn?.
1?q1?q
3.等比中项
如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等比中项?a，A，b成等比数列?G2?a?b.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：
an?1
?q（n?N?，q?0是常数）??an?是等比数列； an
2
⑵中项法：an?1?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比数列. 5.常用性质
⑴数列?an?是等比数列，则数列?pan?k
数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等比数列，公比为q；Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍
为等比数列,公比为q.
⑵若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq； ⑶如果三个数构成等比数列，则设其为
n
a
,a,aq；若四个数成等比数列，则可设其为q
aa
,,aq,aq3。 3
⑷等比数列的通项公式可以改写成an?数，而an?
a1n
q。当q?0且q?1时，y?qx是一个指数函q
a1n
q是一个不为0的常数与指数函数的积。 q
通项公式，数列求和
一、求数列通项公式
1）给出递推公式求通项公式
1°递推关系形如"an?1?an?f(n)，f?n?是可求和的。可利用迭加法或迭代法：
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
例1：已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式； 例2：已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 2°递推关系形如"an?1?an?f(n)，f?n?是可求积的。可利用迭乘法：
an?
anan?1an?2aa
?????3?2?a1
an?1an?2an?3a2a1
例1：数列?an?中，a1?3n?1?例2：已知数列?an?满足：
aan
n
，求an n?1
ann?1?(n?2),a1?2，求数列?an?的通项公式； an?1n?1
例3： 已知数列{an}满足an?1?3an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
3°递推关系形如“an?1?pan?q”，可利用待定系数法：可把它变为
4
an?1???p(an??)?,为待定系数。令bn?an??，先求数列?bn?的通项公式，进而求?an?
的通项公式。
例1：已知数列?an?中，a1?1,an
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时间：2023-10-10 11:46
求通项公式的几种方法山东徐美春聂洪玉数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法． 一、观察法 已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．例1观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．（1）；（2）．解：（1）；（2）．二、由的前项和与间的关系，求通项已知数列的通项公式，可以求出的前项和；反过来，若已知的前项和，如何求呢？，当时，；当时，，故此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论．例2设数列的前项和，求数列的通项公式．解：当时，；当时，．此式对也适用．．点评：利用数列的前项和求数列的通项公式时，要注意是否也满足得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．三、利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．例3 等差数列的前项和记为，已知，求通项． 解：， ①，②②－①，得．代入①，得．． 四、利用递推关系，求通项公式 根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式． 例4 根据下列条件，求数列的通项公式．（1）数列中，；（2）数列中，；（3）数列中，．解：（1）因为，所以．又，所以成等差数列，公差为．所以．（2）因为，所以，，，，．将上面个式子叠加，得，所以．（3）由，
