高二数学,求指导

发布网友发布时间：2024-02-29 20:38

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热心网友时间：2024-11-01 12:22

第一个问题：

因ΔPF1F2的内切圆的圆心是ΔPF1F2三条内角平分线的交点，即ΔPF1F2的内切圆的圆心只能在三条内角平分线上，而OP是ΔPF1F2的一条中线，同时注意到角P的平分线永远不会OP重合（因为PF1-PF2=2a>0，即ΔPF1F2永远不会是PF1=PF2的等腰三角形），所以ΔPF1F2的内切圆的圆心始终不会在直线OP上。也就是说命题“2.三角形PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上”是错误的。以下证明命题1：

令ΔPF1F2的内切圆的圆心为M，圆M切三边于A、B、C（如上图）

由切线长定理知PA=PB，AF1=CF1，BF2=CF2

由双曲线定义知PF1-PF2=2a（注意到PF1>PF2）

即(PA+AF1)-(PB+BF2)=2a

即AF1-BF2=2a（注意到PA=PB）

即CF1-CF2=2a（注意到AF1=CF1，BF2=CF2）

上式表明C到F1、F2的距离差为定值2a

则C在双曲线上

而C是圆M与F1F2的切点

即C在F1F2上

则C为双曲线与焦轴F1F2的交点，即右顶点(a,0)

而圆心M与C的连线垂直于F1F2

所以圆心M必在直线x=a上

第二个问题：

易知左准线为x=-a^2/c，右焦点为F2(c,0)

令到右焦点及左准线的距离相等的点为Q(m,n)，显然m≥a

令双曲线离心率为e（e>1），由焦半径公式知QF2=em-a

而易知Q到左准线的距离为m+a^2/c

依题有em-a=m+a^2/c

注意到e=c/a

即有em-a=m+a/e

即m=a(1+1/e)/(e-1)

而m≥a

则a(1+1/e)/(e-1)≥a

即e^2-2e-1≤0

解得1<e≤1+√2