单位脉冲函数———δ函数
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发布时间：2022-05-05 00:35
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时间：2022-06-27 20:35
信号分析中常应用δ(t)函数，它表示一个理想的瞬时触发脉冲，又称冲击函数，上个世纪30年代由著名物理学狄拉克在量子力学中引进。从数学上讲，它已不属于普通函数，所以在数学中称为广义函数。
1.δ(t)函数的引出
一个单位面积的触发方波，如果其幅度为1/ε，宽度为ε，即
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根据图2-6-1，当ε越变越小时，方波的宽度越变越小，而幅度越变越大。当ε→0时，方波的极限称为单位冲击函数，或称为δ函数，记为δ(t)，如图2-6-2所示。
2.δ函数的特点
δ(t)具有下述特点:
(1)从函数极限角度看，δ(t)为
图2-6-1 方波fε/2(t)
图2-6-2 单位冲击函数
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(2)从面积角度看，则有
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3.δ函数的定义
如果有任一函数f(t)在t=0时连续，则有
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上式深刻地反映了单位冲击函数的性质，因此式(2-6-3)称为δ函数的定义。
定义:如果有一函数δ(t)，对在t=0连续的任意函数f(t)都有式(2-6-3)的关系，则此函数称为δ函数，并以δ(t)表示。
4.δ函数的性质
δ(t)具有下述性质:
(1)因为f(t)在t=0连续，所以有f(0-)=f(0)，于是根据δ(t)的定义，有
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也即
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(2)δ(t)也可以从坐标原点t=0移到任意点t=t0，如图2-6-3所示。这时有
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及
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显然，若有任意连续函数在t=t0连续，则有
下式成立
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图2-6-3 δ(t-t0)延迟单位冲击函数
