如何判断一个微分方程是否是全微分方程?
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发布时间：2024-01-01 18:46
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时间：2024-11-23 05:30
求微分方程(x-siny)dy+tanydx=0的通解
解：P=tany；Q=x-siny；由于∂P/∂y=sec²y≠∂Q/∂x=1；∴此方程不是全微分方程。
但因为 H(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/tany)(sec²y-1)=(1/tany)•(tan²y)=tany是y的函数
故有积分因子μ：
用积分因子μ=cosy乘原方程两边得：[xcosy-sinycosy]dy+sinydx=0
此时P=siny; Q=xcosy-sinycosy；由于∂P/∂y=cosy=∂Q/∂x，故是全微分方程。
∴其通解u:
【检验】=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=sinydx+(-cosysiny+xcosy)dy
=sinydx+cosy(x-siny)dy=cosy[tanydx+(x-siny)dy]=0
即有(x-siny)dy+tanydx=0这就是原方程，故完全正确。
