突变的类型与尖点突变模型

发布网友 发布时间：2022-05-02 20:37

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热心网友 时间：2022-06-26 23:40

（1）突变的类型

突变数学的特色是根据一个系统的势函数，把它的临界点分类，研究各类临界点附近非连续变化状态之特征，从而归纳出七个初等突变模型。每一种突变都是由一个势能函数决定的，平衡曲面为满足势能函数的一阶导数（或两个一阶偏导数）为零的所有点的集合。某种类型的突变过程的全貌可通过其相应的平衡曲面来描述。

由于我们所处的时空是四维的，因此四维控制空间是很重要的，托姆已证明，当控制变量不大于四个时，最多有七种突变形式。我们一般称这七种突变为七种初等突变。它们分别为：折叠型突变（fold catastrophe），尖点型突变（cusp catastrophe），燕尾型突变（swallowtail catastrophe），蝴蝶型突变（butterfly catastrophe），双曲脐点型突变（hyperbolic umbilic catastrophe），椭圆脐点型突变（elliptic umbilic catastrophe），抛物脐点型突变（parabolic umbilic catastrophe）。当控制变量不大于五个时，最多有十五种突变形式。但是，应用最多的还是七种初等突变，它们的势函数、平衡曲面和分支点集（或奇点集）分别表示如下：

1）折叠型突变的势函数：V（x）＝x³ ＋ux（状态变量数目＝1，控制变量数目＝1）（5.1）

平衡曲面的方程：3x² ＋u＝0，奇点集的方程：6x＝0。

2）尖点型突变的势函数： V（x） ＝ x⁴ ＋ ux² ＋ vx（状态变量数目 ＝1，控制变量数目＝2） （5.2）

平衡曲面的方程：4x³ ＋2ux＋v＝0，分支点集的方程：8u³ ＋27v² ＝0。

3）燕尾型突变的势函数： V（x） ＝x⁵ ＋ux³ ＋ vx² ＋wx（状态变量数目 ＝1，控制变量数目＝3） （5.3）

平衡曲面的方程：5x⁴ ＋3ux² ＋2vx＋w＝0，分支点集的方程：20x³ ＋6ux＋2v＝0。

4）蝴蝶型突变的势函数： V（x） ＝x⁶ ＋ tx⁴ ＋ux³ ＋ vx² ＋wx（状态变量数目＝1，控制变量数目＝4） （5.4）

平衡曲面的方程：6x⁵ ＋4tx³ ＋3ux² ＋2vx＋w＝0，奇点集的方程：-v＝15x⁴ ＋6tx² ＋3ux及w＝24x⁵ ＋8tx³ ＋3ux²。

5）双曲脐点型突变的势函数： V（x，y） ＝ x³ ＋ y³ ＋wxy- ux- vy（状态变量数目 ＝2，控制变量数目＝3） （5.5）

平衡曲面的方程：3x² ＋wy-u＝0 及3y² ＋wx-v＝0，奇点集的方程：36xy-w³ ＝0。

6）椭圆脐点型突变的势函数： V（x，y） ＝（1 /3）x³- xy² ＋w（x² ＋ y²）-ux ＋ vy（状态变量数目＝2，控制变量数目＝3） （5.6）

平衡曲面的方程：x²-y² ＋2wx-2u＝0 及-2xy＋2wy＋v＝0，奇点集的方程：w²-x²-y² ＝0。

7）抛物脐点型突变的势函数： V（x，y） ＝ y⁴ ＋ x²y ＋wx² ＋ ty²-ux- vy（状态变量数目＝2，控制变量数目＝4） （5.7）

平衡曲面的方程：2xy＋2wx-u＝0及4y² ＋x² ＋2ty-v＝0，奇点集的方程：（y＋w）（6y²-t）＝x²。

（2）尖点突变模型

在七种突变模型中，最常用的是尖点突变模型，它的临界曲面也容易构造，且几何直观性强，故以之为例做重点分析。尖点突变模型的表达式：

V（x）＝ x⁴ ＋ux² ＋vx

式中：x为状态变量（1个），u和v为控制变量（2个），它的相空间是三维的。V（x）表示一种势，即位置为x时，系统储存的能量。当V′（x）＝0 时，系统处于平衡的位置，即这时这个势函数的临界点是方程

V′（x）＝ 4x³ ＋ 2ux ＋ v ＝ 0 （5.8）

的解，故平衡曲面M也由方程（5.8）给出。这是一个三次方程，它的实根或为一个，或为三个。由判别式 Δ＝8u³ ＋27v²的符号决定。Δ＞0时，有一个实根；Δ＜0时有三个互异的实根；Δ＝0时，有一个二重根（u、v 均不为0），或为一个三重根i（u＝ v＝0），于是可得到u-v平面上各区域的V（x）图形，见图5.1。

图5.1 尖点突变参数平面图

E，J表示两个区域

可把V′（x）＝4x³ ＋2ux＋v＝0确定的曲面称为突变流型（见图5.2），把V′（x）＝0与V″（x）＝12x² ＋2u＝0联立消去，可得到参数平面方程

D ＝ 8u³ ＋ 27v² ＝ 0 （5.9）

确定的曲线D，称为分支集。

分支集D是一个半立方抛物线，在点（0，0）处有一个尖点。分支集将控制平面分为两个区域E和J。在区域E，D＞0，系统是稳定的；在区域J，D＜0，系统有三个平衡点，其中有两个是稳定的，一个是不稳定的。

图5.2为尖点突变流形图，由V′（x）确定，该图代表了势V在不同位置时的变化情况。上、中、下叶代表了可能的三个平衡位置，其中，上、下两叶是稳定的，中叶是不稳定的。势V由上叶向下叶的变化中，如果处在图5.1 中u＞0 的位置，系统是稳定的，V由高向低或由低向高渐进变化；如果处于图5.1中u＜0的位置，则必然有一个突变的过程，系统是不稳定的，势的变化来得突然。研究和应用突变论的关键是不稳定区域，不稳定区域内，系统才表现出突变的个性。

图5.2 尖点突变的流形图

尖点突变模型主要有以下5个特征：

1）多模态：系统中可能出现两个或多个不同的状态，也就是说，系统的位势对于控制参数的某些范围可能有两个或多于两个的极小值（见图5.3）。

2）不可达性：由图5.3可知，在平衡曲面折叠的中间部分，有一个不稳定的平衡位置，系统不可能处于此平衡位置（即不可达）。从微分方程解的角度，不可达对应着不稳定解。

3）突跳：从一个状态到另一个状态的过渡将出现一个突跳（见图5.3），这也是发生突变的系统最显著的特征。

4）发散：在临界点（尖点）附近，控制参数初值的微小变化（微扰）可能导致终态的巨大差别。

5）滞后：由图5.3可知，突变并不是在分支集区内发生，而是在分支集线上发生，从底页跳到顶页与从顶页跳到底页发生的位置不一样。

总之，突变理论属于现代非线性科学，主要是从定量的角度描述非线性系统在临界失稳（相变）时的突变行为。

图5.3 尖点突变的5个特征