∫dx/根号下((e^2x)-1)如何解啊答案给的是arctan根号下((e^2x)-1)+c

发布网友发布时间：2023-12-29 10:13

共4个回答

热心网友时间：2024-07-29 15:24

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友时间：2024-07-29 15:26

首先
设√（(e^2x)-1）=a
那么
有定义可知
a≥0，x≥0
x=1/2ln（a²+1）
那么
原式=∫a²/（a²+1）da=a-arctana+c=根号下（(e^2x)-1)－arctan根号下（(e^2x)-1)+c

热心网友时间：2024-07-29 15:25

这题可用不同的方法做。
第一类换元法：
令t²
=
e^(2x)
-
1，2tdt
=
2e^(2x)dx
=>
tdt
=
e^(2x)dx
∫
dx/√[e^(2x)
-
1]
=
∫
(1/t)•tdt/e^(2x)
=
∫
dt/(1
+
t²)
=
arctan(t)
+
C
=
arctan√[e^(2x)
-
1]
+
C
第二类换元法：
令√[e^(2x)
-
1]
=
√(sec²θ
-
1)
=
√(tan²θ)
=
tanθ
设e^x
=
secθ，(e^x)dx
=
secθtanθdθ
=>
dx
=
tanθdθ，假设(e^x)>1
∫
dx/√[e^(2x)
-
1]
=
∫
(tanθdθ)/(tanθ)
=
∫
dθ
+
C
=
θ
+
C
=
arcsec(e^x)
+
C
=
arctan√[e^(2x)
-
1]
+
C
________________________________________________
secθ
=
e^x
tanθ
=
√(sec²θ
-
1)
=
√[e^(2x)
-
1]

热心网友时间：2024-07-29 15:25

思路：
先用三角函数二倍角公式把sin^2x
进行变换，然后和dx联立
，接着，写出两个定积分。
对每一个进行牛顿莱布尼茨变换，得到关于x的dx
，这里反三角函数
arctan(e^x
)的导数有公式
如此可解