求函数z=e^2x(x+y^2+2y)的极值

发布网友 发布时间：2023-12-27 23:29

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热心网友 时间：2024-08-01 12:33

计算过程如下：

f（x）(x,y)=e^(2x)+2(x+y^2+2y)e^(2x) 

f（y）(x,y)=(2y+2)e^(2x)

分别令它们=0

解出x=0.5，y=-1

极值点且为极小值

所以极值为f(0.5,-1)=-e/2

函数极值意义：

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

热心网友 时间：2024-08-01 12:31

简单分析一下，详情如图

热心网友 时间：2024-08-01 12:29

热心网友 时间：2024-08-01 12:26

热心网友 时间：2024-08-01 12:27

f(x,y)=e^2x (x+y²+2y)

令

f'x=2e^2x (x+y²+2y)+e^2x=e^2x (2x+2y²+4y+1)=0

f'y=e^2x (2y+2)=0

得驻点(1/2，-1)

f''xx=2e^2x (2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2e^2x (2x+2y²+4y+2)=A

f''xy=e^2x (4y+4)=B

f''yy=2e^2x=C

A=2e

B=0

C=2e

AC-B²=4e²＞0，且A＞0

所以(1/2，-1)为极小值点

z=e/2

求解函数的极值

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。