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定积分和双重积分

发布网友 发布时间:2022-04-21 01:23

我来回答

3个回答

热心网友 时间:2022-06-17 02:15

定积分与二重积分、三重积分有3点不同:

一、三者的概述不同:

1、定积分的概述:定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

2、二重积分的概述:二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。

3、三重积分的概述:设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数,将Ω任意分割为n个小区域,每个小区域的直径记为rᵢ(i=1,2,...,n)。

体积记为Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每个小区域内取点f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关);

则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。

二、三者的几何意义不同:

1、定积分的几何意义:表示平面图形的面积。

2、二重积分的几何意义:表示曲顶柱体体积。

3、三重积分的几何意义:表示立体的质量。

三、三者的注意事项不同:

1、定积分的注意事项:一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

2、二重积分的注意事项:平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。

3、三重积分的注意事项:当积分函数为1时,就是其密度分布均匀且为1,质量就等于其体积值。当积分函数不为1时,说明密度分布不均匀。

定积分与二重积分、三重积分均是高等数学中重要内容,其中,定积分是学习二重积分、三重积分的基础。

参考资料来源:百度百科-定积分

参考资料来源:百度百科-二重积分

参考资料来源:百度百科-三重积分

热心网友 时间:2022-06-17 02:15

问题很抽象。
从变量维度区分:
一般的定积分指的一元函数积分;二重积分是二元函数的积分,三重积分是三元函数的积分。
从几何意义来说:
一般定积分是求面积;二重积分求曲顶柱体体积,三重积分求空间封闭区域体积

热心网友 时间:2022-06-17 02:16

从应用上来说,定积分用来算曲边梯形面积;二重积分可以算空间旋转体的面积于体积,我觉得二重积分其实是针对旋转体的,因为空间体是三维的,需要xyz三个坐标表示,但是旋转体的特性便是根据xy平面上的旋转面的数据就可以推算旋转体的体积于面积,所以就有了二重积分。比如由直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥体的体积面积计算;三重积分就是来算二重积分无法计算的非旋转体的体积。比如三菱锥。
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