一道线性代数中关于线性空间的题： 设W是P（n*n）的全体由AB-BA的矩阵所生成的子空间，证明dimW=n^2-1
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发布时间：2022-05-04 13:34
共3个回答
热心网友
时间：2023-10-22 20:48
1你首先得说明W={X|X=AB-BA}是线性空间
2W的维数为n^2-1
其实呢，只要当你说明1后，2自然也就解决了
说明1，你需要一个定理
定理：方阵C 能分解成AB-BA 的形式，充分必要条件是tr C =0
这样你就能验证W确实是一个线性空间
接下来说明2,由上面的定理，我们可以换一种说法描述W，即W={X|trX=0}
这样我们就不难理解为什么W的维数是n^2-1了，因为相对于一般的方阵，W中的方阵只是多了一个条件a11+a22+。。。+ann=0,我们也可以直接写出W 的一组基。
关于上面的定理的证明，你可以参考相关资料，网上应该很多的，如果你需要我的帮助，我也可以落实到细节。
热心网友
时间：2023-10-22 20:48
P（n*n）是n^2维，找一组含E的由n^2个元素构成的基.
通过迹可证明对有限维的空间AB-BA恒不等于E(单位阵)，从而将E从基中去除.
接下来证明任意AB-BA可被n^2-1维基表示...这个不懂,关注...
热心网友
时间：2023-10-22 20:49
期待解答
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时间：2023-10-22 20:48
1你首先得说明W={X|X=AB-BA}是线性空间
2W的维数为n^2-1
其实呢，只要当你说明1后，2自然也就解决了
说明1，你需要一个定理
定理：方阵C 能分解成AB-BA 的形式，充分必要条件是tr C =0
这样你就能验证W确实是一个线性空间
接下来说明2,由上面的定理，我们可以换一种说法描述W，即W={X|trX=0}
这样我们就不难理解为什么W的维数是n^2-1了，因为相对于一般的方阵，W中的方阵只是多了一个条件a11+a22+。。。+ann=0,我们也可以直接写出W 的一组基。
关于上面的定理的证明，你可以参考相关资料，网上应该很多的，如果你需要我的帮助，我也可以落实到细节。
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时间：2023-10-22 20:48
P（n*n）是n^2维，找一组含E的由n^2个元素构成的基.
通过迹可证明对有限维的空间AB-BA恒不等于E(单位阵)，从而将E从基中去除.
接下来证明任意AB-BA可被n^2-1维基表示...这个不懂,关注...
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时间：2023-10-22 20:49
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时间：2023-10-22 20:48
1你首先得说明W={X|X=AB-BA}是线性空间
2W的维数为n^2-1
其实呢，只要当你说明1后，2自然也就解决了
说明1，你需要一个定理
定理：方阵C 能分解成AB-BA 的形式，充分必要条件是tr C =0
这样你就能验证W确实是一个线性空间
接下来说明2,由上面的定理，我们可以换一种说法描述W，即W={X|trX=0}
这样我们就不难理解为什么W的维数是n^2-1了，因为相对于一般的方阵，W中的方阵只是多了一个条件a11+a22+。。。+ann=0,我们也可以直接写出W 的一组基。
关于上面的定理的证明，你可以参考相关资料，网上应该很多的，如果你需要我的帮助，我也可以落实到细节。
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时间：2023-10-22 20:48
P（n*n）是n^2维，找一组含E的由n^2个元素构成的基.
通过迹可证明对有限维的空间AB-BA恒不等于E(单位阵)，从而将E从基中去除.
接下来证明任意AB-BA可被n^2-1维基表示...这个不懂,关注...
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时间：2023-10-22 20:49
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