如何证明1除以111等于0.009009009009........009?

发布网友发布时间：2022-05-06 00:14

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热心网友时间：2023-10-10 05:09

有定理曰：如果一个既约真分数a/b的分母b只含有2和5以外的质因数，那么：①这个分数所化成的小数是纯循环小数；②这个纯循环小数的循环节的最少位数，与分母能整除9999.。。。（t个9）时9的最少个数t相同。显然1/111是一个既约真分数，它的分母111是2和5以外的质因数，且能整除至少三个9所组成的数（t=3）；根据这个定理可知1/111化成的小数是纯循环小数，且这个循环小数的循环节的最少位数是t=3，事实上：1/111=0.009009009。。。

热心网友时间：2023-10-10 05:09

令 X = 0.009 009 009……
则 1000*X = 0.009 009 009…… * 1000 = 9.009 009 009 ……
则有：
1000X - X
= 9.009 009 009 …… - 0.009 009 009 ……
= 9
即得 999X = 9
X = 9/999 = 1/111
得证