问一道关于有理数证明的题
发布网友
发布时间：2024-03-22 05:03
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热心网友
时间：2024-03-23 06:17
假设sqrt(a)为无理数，因为a,b,c都是有理数，则sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)为无理数；
故假设错误，
同理sqrt(b)，sqrt(c)也必为有理数。
热心网友
时间：2024-03-23 06:17
则√a=d-√b-√c
两边平方得a=d*d+b+c+2√bc-2d√b-2d√c
移项，得a-d*d-b-c=2√bc-2d√b-2d√c
设2e=a-d*d-b-c，则e为有理数
则√bc-e=d√b-d√c
两边平方得bc+e*e-2e√bc=d*d*(b+c-2√bc)
移项，合并同类项得2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c)
其中2d*d+2e=d*d+a-b-c
而由d=√a+√b+√c可知d*d=a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac
由题意可知，a,b,c都为正数，所以2d*d+2e=d*d+a-b-c=2a+2√ab+2√bc+2√ac，是一个大于零的有理数。
对于等式2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c)，由于等式右边是一个有理数，等式左边的2(d*d+e)是不为零的有理数，故√bc一定为有理数。
同理可证√ac，√ab一定为有理数。
对于d=√a+√b+√c，
移项得d-√a=√b+√c
平方得d*d+a-2d√a=b+c+2√bc
故2d√a=b+c+2√bc-d*d-a，已经证明出等式右边是一个有理数
等式左边，由于a,b,c互不相等，故d不等于零，故
√a=(b+c+2√bc-d*d-a)/2d，是一个有理数。
同理可证，√b，√c都是有理数。
