如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det(E+X*Y^T)=1+X^T*Y,X^...

发布网友 发布时间：2024-03-20 23:13

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热心网友 时间：2024-03-31 06:04

可以直接计算的。
设X^T=(x1,x2,...,xn)， Y^T=(y1,y2,...,yn),
An=det（E+X*Y^T）
1+x1y1 x1y2 x1y3 ...... ..x1yn
x2y1 1+x2y2 x2y3 ..... ...x2yn 按第1列分成两个行列式
= x3y1 x3y2 1+x2y3 ........x3yn ==================
........................................................
xny1 xny2 xny3 ........1+xnyn

1 x1y2 x1y3 .... .. ..x1yn x1y1 x1y2 x1y3 ...... ..x1yn
0 1+x2y2 x2y3 ..... ...x2yn x2y1 1+x2y2 x2y3 ..... ...x2yn
= 0 x3y2 1+x2y3 ........x3yn + x3y1 x3y2 1+x2y3 ........x3yn
............................................. ..................................................
0 xny2 xny3 ........1+xnyn xny1 xny2 xny3 .......1+xnyn

对第1个行列式按1列展开后的n-1阶行列式，与原来的的An结构一样，记为A(n-1)
对第2个行列式，第1列提个y1出来后，将第1列乘以-y2，-y3，...,-yn，分别加入第2,3,...n列。得一个三角形行列式，计算其值为x1y1(对角线上的元素为x1,1,1,.....,1)
这样：An=A(n-1)+x1y1=A(n-2)+x1y1+x2y2，
一直下去，注意最后一个行列式A1=1+xnyn

于是：An=1+x1y1+x2y2+...+xnyn=1+X^T*Y。
即：det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y

热心网友 时间：2024-03-31 06:11

1楼的回答挺好的，但如果非要从特征值方面考虑的话，是这样（一下就出来结果了）：
我用 ' 代替转置了，容易写一点儿。
考察矩阵 -XY' 的特征方程：det(λE+XY')
我们下面用别的方法找出 -XY' 的 n 个特征值和特征向量。
（1）-XY' 是个秩为 1 的矩阵，也就是它的零空间是 n-1 维的，所以 0 是它的特征值，且对应 n-1 个线性无关的特征向量。
（2）(-XY') X = -X (Y'X)，所以 -Y'X 是一个特征值，对应的特征向量是 X 。
综上，det(λE+XY') = λ^(n-1) * (λ+Y'X)
带入λ=1，就得到了你想要的结果。

热心网友 时间：2024-03-31 06:06

这是个秩为1的实对称矩阵的情况.
设 A=XY^T
由X,Y非零知 r(A) <= r(X) = 1
且 A≠0 得 r(A)>=1
故 r(A) = 1.

A 的特征值为 X^TY = Y^TX, 0,...,0
所以 E+A 的特征值为 1+X^TY, 1,...,1
而方阵的行列式等于其所有特征值之积
所以有 det (E+A) = 1+X^TY.

前段时间帐号出现问题, 不能解答, 所以来晚了
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