如何证明两个随机变量X和Y独立同分布,那么X^2和Y^2也独立同分布

发布网友发布时间：2022-05-05 20:08

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热心网友时间：2022-06-28 00:54

对任意k有

P{X=k}=P{Y=k},k>=0时令k=t^2有

P{X=t^2}=P{Y=t^2},所以X^2和Y^2是同分布的,这个比较显然

由已知得:EXY=EX*EY,DXY=0,

所以E(X^2 *Y^2)=E[(XY)^2]=DXY+(EXY)^2=(EXY)^2=(EX*EY)^2

=(EX)^2 * (EY)^2=((EX)^2+DX)*((EY)^2+DY)=EX^2 * EY^2

所以X^2和Y^2也独立

从而X^2和Y^2独立同分布

扩展资料

在概率统计理论中，指随机过程中，任何时刻的取值都为随机变量，如果这些随机变量服从同一分布，并且互相独立，那么这些随机变量是独立同分布。

如果随机变量X1和X2独立，是指X1的取值不影响X2的取值，X2的取值也不影响X1的取值且随机变量X1和X2服从同一分布，这意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数，对离散随机变量具有相同的分布律，对连续随机变量具有相同的概率密度函数，有着相同的分布函数，相同的期望、方差。如实验条件保持不变，一系列的抛硬币的正反面结果是独立同分布。

热心网友时间：2022-06-28 00:55

显然由已知得:对任意k有
P{X=k}=P{Y=k},k>=0时令k=t^2有
P{X=t^2}=P{Y=t^2},所以X^2和Y^2是同分布的,这个比较显然

由已知得:EXY=EX*EY,DXY=0,
所以E(X^2 *Y^2)=E[(XY)^2]=DXY+(EXY)^2=(EXY)^2=(EX*EY)^2
=(EX)^2 * (EY)^2=((EX)^2+DX)*((EY)^2+DY)=EX^2 * EY^2
所以X^2和Y^2也独立
从而X^2和Y^2独立同分布

热心网友时间：2022-06-28 00:55

没人告诉你X，Y 相互独立能推出D（XY）=0