三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆
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发布时间：2023-06-11 18:51
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时间：2024-05-20 18:10
因为要模拟1/4圆，所以通过P(0)和P(1)的切线方向，应该按照下图所示位置安放。
其中AB为水平方向，DC为垂直方向，并且线段长度|AB| = |DC| = h。
那么这个问题实际上，就转换为计算出合理的h值，使得半径|OJ| = 1，也即J点刚好在圆弧上。
同样的结论，也可以直接由贝塞尔曲线的几何图形特征来推定，也即：
所以也可以再次确认P(0.5)和J是同一点。
代入四个控制点坐标A(0, 1)，B(h, 1)，C(1, h)和D(1, 0)，可以求解P(0.5)点坐标如下：
根据圆形方程定义，可以拟出下面方程：
所以，可以最终求解出三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆的参数方程P(t)定义如下：
另一方面，该方程描述的曲线与真实1/4圆有多大差异呢？下面就针对这个问题进行数值求解。
采用t = 0.0到1.0，步进值0.01，求解每个点到原点的距离与半径1的差异。
输出结果如下：
从输出结果分析可以看到，误差均为向着圆弧外凸，0度到45度一段，45度到90度一段。
在0度、45度和90度为最小误差0.000000，在19.3度和70.7度达到最大误差为0.000273，基本上非常接近1/4圆弧了。
以上，即为三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆弧的全部内容。
感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。
