怎么判断n等于3 能被整除 高中数学

发布网友 发布时间：2023-05-17 22:18

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热心网友 时间：2023-10-09 13:05

整除这个概念实际上可以转化为方程。
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先解决你这个问题。（先说一下，x^n表示x的n次方）
当n是奇数时，不妨设n=2k+1（k∈N）
x^n+y^n
=x^n+x^(n-1)·y^1
-x^(n-1)·y^1-x^(n-2)·y^2
+x^(n-2)·y^2+x^(n-3)·y^3
-……
-x^2·y^(n-2)-x^1·y^(n-1)
+x^1·y^(n-1)+x^0·y^n
（注意看，第奇数行均为加，第偶数行均为减，而n是奇数，则最后一行为加）
=x^(n-1)·(x+y)
-x^(n-2)·(x+y)
+x^(n-3)·(x+y)
-x^(n-4)·(x+y)
+x^(n-5)·(x+y)
-x^(n-6)·(x+y)
+x^(n-7)·(x+y)
-……
-x^1·(x+y)
+x^0·(x+y)
=（x^(n-1)-x^(n-2)+x^(n-3)-x^(n-4)+x^(n-5)-……-x+1）·(x+y)
因而可以整除，证明完毕。
而若n是偶数时，最后一行一正一负，无法提取公因式。
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换一种方法。鉴于高中生没学习过高等代数，我尽量使用通俗的说话，但是不一定符合数学要求。
假若x^n+y^n=0时，可以求到结果x=-y，那么x+y=0，
我们可以这么考虑，也就是说，x+y=0时，那么x=-y是它的解，且能得到x^n+y^n=0，那么x+y=0是x^n+y^n=0的一个“分解方程”。
说得挺绕的，不如看一个简单问题。
例如，x^2+3x+2=(x+1)·(x+2)，
实际上，x+1是它的一个因式实际上就表示原方程有一个解是x+1=0。

上面铺垫比较多，如果还有问题请追问。

回到这个问题。

既然整除，那么不妨设x^n+y^n=(x+y)·(……)，不用管后一个括号里是什么，
那么，当x+y=0时，一定可以得到x^n+y^n=0，
于是，将x=-y代入方程，
(-y)^n+y^n≡0（此处≡表示的是恒等于，不是同余符号）
y^n·[(-1)^n+1]≡0
而y是任意数，于是y^n不是恒等于0，那么只能(-1)^n+1≡0，
此时只能是n≡奇数了。
证毕。

实际上，等你学习了复数范围内的根，这个题更容易理解了。
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热心网友 时间：2023-10-09 13:06

x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）
所以可以被整除