高数 求微分方程的通解
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发布时间：2023-05-19 11:34
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时间：2024-03-28 15:01
(1)
y''-y'=x
这个是标准的二阶非齐次微分方程
1.先求齐次的通解。
特征方程r²-r=0
r(r-1)=0
得r1=0，r2=1
即Y=C1+C2e^x
2.求非齐次的特解
λ=0是单根
所以k=1
设y*=x(ax+b)=ax²+bx
y*'=2ax+b
y*''=2a
代入原方程
2a-2ax-b=x
得a=-1/2，b=-1
即y*=-x²/2 - x
综上
所以非齐次的通解y=Y+y*=C1+C2e^x -x²/2 - x
(2)
解微分方程y''y³-1=0的通解
设y′=p
则y′′=dy′/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy),
代入原式得：
p(dp/dy)y³=1,
分离变量得：pdp=dy/y³；
积分得
p²/2=-1/(2y²)+(C₁)/2；
即有p²=-(1/y²)+C₁；
故得p=y′=dy/dx=√[C₁-(1/y²)]；
于是得dy/√[C₁-(1/y²)]=dx；
即有ydy/√(C₁y²-1)=dx；
积分：(1/2C₁)∫d(C₁y²-1)/√(C₁y²-1)=∫dx；
故得(1/C₁)√(C₁y²-1)=x+C₂；
即C₁y²-1=(C₁x+C₁C₂)²；
故 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]为其通解.
C₁C₂可以合并为C
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时间：2024-03-28 15:01
