高数极限小问题?

发布网友发布时间：2023-06-09 21:21

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热心网友时间：2024-12-04 08:30

首先，看一下，当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0，又因为分母不等于0所以不可以直接求

方法一：等价无穷小

本质：将复杂的函数替换成简单的函数，达到简便运算或者分子分母可相约

条件：当x趋近于一个数时，这个式子趋近于0

重要公式

x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;

x--ln(1+x)--(e^x-1);

(1-cosx)--x*x/2;

[(1+x)^n-1]--nx;

ln(1+x)--x

ex-1--x

当x趋近于0时，分子、分母都趋近于0

分子：e^3x-1～3x

分母：sin2x～2x

所以原式=3x/2x=3/2

约掉之后不要管极限了，因为前面等价无穷小公式的时候运用了极限。

如果不懂，可以换元

令3x=t

e^3x-1=e^t-1

因为在x趋近于0时，t也趋近于0

所以利用等价无穷小

e^t-1～t

又t=3x，所以，分子被替换成3x

分母同理

本质：分子和分母分别求导，达到降维，直到可简便运算，如果一直复杂，可以一直用洛必达

条件：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);

二是分子分母在限定的区域内是否分别可导;

三是如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在。

本题可知是“0/0”型，就是分子分母极限都为零。

分子求导=（e^3x）’•（3x）’

=3（e^3x）

分母求导=（sin2x）’•（2x）’

=2sin2x

所以原式的分式变为了

3（e^3x）/2sin2x

然后把x=0带入

得3/2

解题中：是复合函数求导，

刚开始不理解的话，就多刷题，刷题前，把这些概念和公式都背熟理解透了，在做题，就会 very easy啦

热心网友时间：2024-12-04 08:31

lim(x->0) [e^(3x)-1]/sin2x
=lim(x->0) (3x)/(2x) = 3/2
其中用到：e^x-1等价于x，sinx等价于x