如何证明圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半?
发布网友
发布时间：2023-06-10 05:40
共1个回答
热心网友
时间：2024-02-01 16:24
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
定理证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圆心角等于180度的情况呢？
看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，
显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ABC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOC
圆心角大于180度的情况呢？
看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，
只要延长CO交园于点E，由圆心角等于180度的情况可知∠CAE=∠CBE=90度
所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB
由情况2可知：∠AOB=2∠AEB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠AEB）=2∠ACB
